Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem volume 3200 c m^{3}. Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado para montá-la.

Passo 1

O enunciado dá uma caixa com base quadrada e sem tampa cujo volume é \,3200\\ \text{cm}^3. Pede-se: encontrar as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado (ou seja, minimizar a área das partes da caixa que precisam ser feitas). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A base é quadrada (lado da base igual em ambas as direções).
  • A caixa não tem tampa (apenas a base e as quatro faces laterais usam material).
  • O volume é \,3200\\ \text{cm}^3.
    O que se pede: determinar o lado da base e a altura da caixa que minimizam a área total de material.

Passo 2

Vamos definir variáveis claras (sempre o primeiro passo prático).
  • Seja \,x\\ \text{(cm)} o comprimento do lado da base quadrada.
  • Seja \,h\\ \text{(cm)} a altura da caixa.
    A restrição do problema vem do volume: o volume de uma caixa de base quadrada é a área da base vezes a altura, logo
x^2 h = 3200.
Isto é uma equação que relaciona \,x e \,h.

Passo 3

Agora precisamos escrever a expressão para a quantidade de material (a área que queremos minimizar). A caixa tem:
  • uma base de área \,x^2;
  • quatro faces laterais, cada uma é um retângulo de área \,x\cdot h, então as quatro juntas têm área \,4xh.
    Assim a área total a ser minimizada é
S = x^2 + 4xh.
Aqui \,S está em \text{cm}^2.

Passo 4

Como temos a restrição do volume, eliminamos \,h para trabalhar com uma função de uma única variável. Da equação do volume,
h = \frac{3200}{x^2}.
Substituindo em \,S obtemos S como função de \,x apenas:
S(x) = x^2 + 4x\cdot\frac{3200}{x^2} = x^2 + \frac{12800}{x}.
Explicando: substituiu-se h por \dfrac{3200}{x^2} e multiplicou-se 4x por esse valor, dando \dfrac{12800}{x}.

Passo 5

Breve lição: como encontrar mínimos de funções de uma variável. Para minimizar uma função diferenciável S(x) em domínio aberto (aqui x>0), procuramos pontos críticos onde a derivada se anula ( S'(x)=0) e então analisamos a segunda derivada ou o comportamento da função para confirmar se é mínimo. Intuição: a derivada mede a taxa de variação; quando passa por zero a função pode ter um máximo, mínimo ou ponto de inflexão — por isso verificamos o sinal da segunda derivada.

Passo 6

Calcular a derivada de S(x). Lembrando que a derivada de x^2 é 2x e a derivada de \dfrac{12800}{x} é -12800 x^{-2}:
S'(x)=2x - 12800 x^{-2}.
Para encontrar pontos críticos, resolvemos S'(x)=0:
2x - 12800 x^{-2}=0.
Multiplicando por x^{2} (válido porque x>0):
2x^{3}-12800=0.
Logo
x^{3}=6400.
Assim
x=\sqrt[3]{6400}.
Podemos simplificar 6400=64\cdot100, então
x=4\sqrt[3]{100}.
É a forma exata; em valor aproximado,
x\approx 18,57\\ \text{cm}.

Passo 7

Agora obtemos a altura h usando a relação do volume. Usando \,h=\dfrac{3200}{x^2} e o fato que x^3=6400, fazemos uma simplificação útil:
h=\frac{3200}{x^2}=\frac{3200}{\dfrac{6400}{x}}=\frac{3200x}{6400}=\frac{x}{2}.
Portanto, no ponto ótimo, a altura vale metade do lado da base:
h=\frac{1}{2}\sqrt[3]{6400}=2\sqrt[3]{100}\approx 9,28\\ \text{cm}.

Passo 8

Confirmação de que é mínimo (teste da segunda derivada). Calculamos
S''(x)=\frac{d}{dx}\big(2x - 12800 x^{-2}\big)=2 + 25600 x^{-3}.
No ponto crítico, onde x^{3}=6400, temos
S''(x)=2 + \frac{25600}{6400}=2+4=6>0.
Como a segunda derivada é positiva, a função S tem um mínimo local ali. Além disso, justificando que é mínimo global: para x\to 0^+ a termo \dfrac{12800}{x}\to +\infty, e para x\to +\infty o termo x^2\to +\infty; portanto S(x)\to +\infty nas extremidades do domínio x>0. Assim o mínimo encontrado é o mínimo global.

Passo 9

Resumo prático e interpretação: a caixa que minimiza material tem a base quadrada com lado
\,x=\sqrt[3]{6400}=4\sqrt[3]{100}\\ \text{cm} e altura \,h=\dfrac{x}{2}=2\sqrt[3]{100}\\ \text{cm}. Numericamente, isso dá aproximadamente \,x\approx18,57\\ \text{cm} e \,h\approx9,28\\ \text{cm}. Uma observação interessante: para a caixa sem tampa e base quadrada, a altura ótima é metade do lado da base.

Resposta

\displaystyle x= \sqrt[3]{6400}=4\sqrt[3]{100}\\ \text{cm}\approx 18,57\\ \text{cm}
\displaystyle h=\tfrac{x}{2}=2\sqrt[3]{100}\\ \text{cm}\approx 9,28\\ \text{cm}

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