Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem volume
. Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado para montá-la.
Passo 1
O enunciado dá uma caixa com base quadrada e sem tampa cujo volume é
. Pede-se: encontrar as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado (ou seja, minimizar a área das partes da caixa que precisam ser feitas). Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A base é quadrada (lado da base igual em ambas as direções).
- A caixa não tem tampa (apenas a base e as quatro faces laterais usam material).
- O volume é
.
O que se pede: determinar o lado da base e a altura da caixa que minimizam a área total de material.
Passo 2
Vamos definir variáveis claras (sempre o primeiro passo prático).
- Seja
o comprimento do lado da base quadrada. - Seja
a altura da caixa.
A restrição do problema vem do volume: o volume de uma caixa de base quadrada é a área da base vezes a altura, logo
Isto é uma equação que relaciona
e
.
Passo 3
Agora precisamos escrever a expressão para a quantidade de material (a área que queremos minimizar). A caixa tem:
- uma base de área
; - quatro faces laterais, cada uma é um retângulo de área
, então as quatro juntas têm área .
Assim a área total a ser minimizada é
Aqui
está em
.
Passo 4
Como temos a restrição do volume, eliminamos
para trabalhar com uma função de uma única variável. Da equação do volume,
Substituindo em
obtemos
como função de
apenas:
Explicando: substituiu-se
por
e multiplicou-se
por esse valor, dando
.
Passo 5
Breve lição: como encontrar mínimos de funções de uma variável. Para minimizar uma função diferenciável
em domínio aberto (aqui
), procuramos pontos críticos onde a derivada se anula (
) e então analisamos a segunda derivada ou o comportamento da função para confirmar se é mínimo. Intuição: a derivada mede a taxa de variação; quando passa por zero a função pode ter um máximo, mínimo ou ponto de inflexão — por isso verificamos o sinal da segunda derivada.
Passo 6
Calcular a derivada de
. Lembrando que a derivada de
é
e a derivada de
é
:
Para encontrar pontos críticos, resolvemos
:
Multiplicando por
(válido porque
):
Logo
Assim
Podemos simplificar
, então
É a forma exata; em valor aproximado,
Passo 7
Agora obtemos a altura
usando a relação do volume. Usando
e o fato que
, fazemos uma simplificação útil:
Portanto, no ponto ótimo, a altura vale metade do lado da base:
Passo 8
Confirmação de que é mínimo (teste da segunda derivada). Calculamos
No ponto crítico, onde
, temos
Como a segunda derivada é positiva, a função
tem um mínimo local ali. Além disso, justificando que é mínimo global: para
a termo
, e para
o termo
; portanto
nas extremidades do domínio
. Assim o mínimo encontrado é o mínimo global.
Passo 9
Resumo prático e interpretação: a caixa que minimiza material tem a base quadrada com lado
e altura
. Numericamente, isso dá aproximadamente
e
. Uma observação interessante: para a caixa sem tampa e base quadrada, a altura ótima é metade do lado da base.