Enuncie o Teorema de Weierstrass. A seguir, encontre os valores máximo e mínimo absolutos de cada função f no intervalo dado:
f(t)=\sqrt[3]{t} \cdot(8-t)[0 ; 8]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Enunciar o Teorema de Weierstrass.
  • Encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função f no intervalo dado.
Informações fornecidas:
  • A função é \displaystyle f(t)=\sqrt[3]{t}\cdot(8-t)=t^{1/3}(8-t).
  • O intervalo é [0,8].
O que devemos devolver no final: os pontos do intervalo onde f atinge o máximo e o mínimo absolutos e os respectivos valores.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Weierstrass (forma usual, em linguagem direta):
\text{Se }f\text{ é contínua em um intervalo fechado e limitado }[a,b],\text{ então }f\text{ atinge um máximo absoluto e um mínimo absoluto em }[a,b].éíãáí
Explicação curta e didática: isso significa que, sempre que a função não tem “buracos” (continuidade) e o domínio é um segmento fechado (como [0,8]), existe pelo menos um ponto em [a,b] onde f é maior ou igual a todos os outros valores (máximo absoluto) e existe pelo menos um ponto onde f é menor ou igual a todos os outros valores (mínimo absoluto). É por isso que, antes de procurar extremos, verificamos continuidade e que o domínio seja fechado.

Passo 3

Verificar hipóteses do Teorema de Weierstrass para poder usá-lo:
  • A função t\mapsto t^{1/3} é contínua para todo t\in\mathbb{R}, logo contínua em [0,8].
  • A função t\mapsto 8-t é polinomial/afim, portanto contínua em [0,8].
  • Produto de funções contínuas é contínuo, então f(t)=t^{1/3}(8-t) é contínua em [0,8].
Conclusão: pelo Teorema de Weierstrass, f tem máximo absoluto e mínimo absoluto em [0,8]. Agora precisamos localizar onde esses extremos ocorrem.
Observação sobre onde procurar extremos (estratégia): em um intervalo fechado os candidatos a extremos absolutos são:
  1. pontos interiores onde a derivada é zero (pontos críticos do tipo f'(t)=0);
  2. pontos interiores onde a derivada não existe (também candidatos);
  3. os pontos extremos do intervalo (aqui t=0 e t=8).

Passo 4

Método prático para achar pontos críticos — simplificação com mudança de variável (trick que reduz cálculo): defina
u = t^{1/3}.
Então t = u^3. Quando t percorre [0,8], u percorre [0,2] (porque \sqrt[3]{0}=0 e \sqrt[3]{8}=2). Agora escrevemos f em função de u:
g(u) := f(u^3) = u\,(8 - u^3) = 8u - u^4, \qquad u\in[0,2].
Justificativa do passo: a aplicação t\mapsto u=t^{1/3} é contínua e estritamente crescente em [0,8], portanto localizar máximos/minimos de g(u) em [0,2] corresponde a localizar máximos/minimos de f(t) em [0,8] via a relação t=u^3.

Passo 5

Calcular derivada de g para encontrar pontos críticos (aqui usamos regra do poder): para uma função u\mapsto u^n com n real, a derivada é n u^{n-1}. Aplicando ao polinômio g(u)=8u-u^4,
g'(u)=8 - 4u^3.
Explicando: a derivada de 8u é 8; a derivada de -u^4 é -4u^3.
Resolver g'(u)=0:
8 - 4u^3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4u^3 = 8 \quad\Longrightarrow\quad u^3 = 2 \quad\Longrightarrow\quad u = \sqrt[3]{2}=2^{1/3}.
Esse u está no intervalo [0,2] porque 2^{1/3}\approx1{,}26\in[0,2].
Também devemos considerar os extremos do intervalo em u: u=0 e u=2.

Passo 6

Avaliar g nos candidatos u=0, u=2^{1/3}, u=2:
  • Em u=0:
g(0)=8\cdot 0 - 0^4 = 0.
  • Em u=2:
g(2)=8\cdot 2 - 2^4 = 16 - 16 = 0.
  • Em u=2^{1/3}: note que (2^{1/3})^3=2 e (2^{1/3})^4 = 2\cdot 2^{1/3}. Então
g(2^{1/3})=8\cdot 2^{1/3} - (2^{1/3})^4 = 8\cdot 2^{1/3} - 2\cdot 2^{1/3} = 6\cdot 2^{1/3}.
Comparação dos valores:
g(0)=0,\qquad g(2)=0,\qquad g(2^{1/3})=6\cdot 2^{1/3}>0.
Portanto o maior valor entre os candidatos é 6\cdot 2^{1/3} e os menores valores são 0 (ocorrendo em dois pontos).

Passo 7

Voltar às coordenadas em t (lembrando t=u^3):
  • O ponto u=2^{1/3} corresponde a t=(2^{1/3})^3=2. Logo o máximo absoluto de f ocorre em t=2 e vale f(2)=6\cdot 2^{1/3}.
  • Os pontos u=0 e u=2 correspondem a t=0 e t=8, respectivamente. Em ambos f vale 0. Logo o mínimo absoluto de f no intervalo [0,8] é 0, atingido em t=0 e em t=8.
Comentário final de verificação: para t\in(0,8) tem-se t^{1/3}>0 e 8-t>0, então f(t)>0 no interior, o que confirma que os menores valores são mesmo nos extremos do intervalo.

Resposta

Máximo absoluto: f(2)=6\cdot 2^{1/3}.
Mínimo absoluto: f(0)=0 e f(8)=0.

Exercícios relacionados