Enuncie o Teorema de Weierstrass. A seguir, encontre os valores máximo e mínimo absolutos de cada função
no intervalo dado:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Enunciar o Teorema de Weierstrass.
- Encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no intervalo dado.
Informações fornecidas:
- A função é
. - O intervalo é
.
O que devemos devolver no final: os pontos do intervalo onde
atinge o máximo e o mínimo absolutos e os respectivos valores.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Weierstrass (forma usual, em linguagem direta):
Explicação curta e didática: isso significa que, sempre que a função não tem “buracos” (continuidade) e o domínio é um segmento fechado (como
), existe pelo menos um ponto em
onde
é maior ou igual a todos os outros valores (máximo absoluto) e existe pelo menos um ponto onde
é menor ou igual a todos os outros valores (mínimo absoluto). É por isso que, antes de procurar extremos, verificamos continuidade e que o domínio seja fechado.
Passo 3
Verificar hipóteses do Teorema de Weierstrass para poder usá-lo:
- A função
é contínua para todo , logo contínua em . - A função
é polinomial/afim, portanto contínua em . - Produto de funções contínuas é contínuo, então
é contínua em .
Conclusão: pelo Teorema de Weierstrass,
tem máximo absoluto e mínimo absoluto em
. Agora precisamos localizar onde esses extremos ocorrem.
Observação sobre onde procurar extremos (estratégia): em um intervalo fechado os candidatos a extremos absolutos são:
- pontos interiores onde a derivada é zero (pontos críticos do tipo
); - pontos interiores onde a derivada não existe (também candidatos);
- os pontos extremos do intervalo (aqui
e ).
Passo 4
Método prático para achar pontos críticos — simplificação com mudança de variável (trick que reduz cálculo): defina
Então
. Quando
percorre
,
percorre
(porque
e
). Agora escrevemos
em função de
:
Justificativa do passo: a aplicação
é contínua e estritamente crescente em
, portanto localizar máximos/minimos de
em
corresponde a localizar máximos/minimos de
em
via a relação
.
Passo 5
Calcular derivada de
para encontrar pontos críticos (aqui usamos regra do poder): para uma função
com
real, a derivada é
. Aplicando ao polinômio
,
Explicando: a derivada de
é
; a derivada de
é
.
Resolver
:
Esse
está no intervalo
porque
.
Também devemos considerar os extremos do intervalo em
:
e
.
Passo 6
Avaliar
nos candidatos
,
,
:
- Em
:
- Em
:
- Em
: note que e . Então
Comparação dos valores:
Portanto o maior valor entre os candidatos é
e os menores valores são
(ocorrendo em dois pontos).
Passo 7
Voltar às coordenadas em
(lembrando
):
- O ponto
corresponde a . Logo o máximo absoluto de ocorre em e vale . - Os pontos
e correspondem a e , respectivamente. Em ambos vale . Logo o mínimo absoluto de no intervalo é , atingido em e em .
Comentário final de verificação: para
tem-se
e
, então
no interior, o que confirma que os menores valores são mesmo nos extremos do intervalo.
Resposta
Máximo absoluto:
.
Mínimo absoluto:
e
.