Uma caixa de base quadrada e sem tampa tem volume 32m³. Determine as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material a ser usado para construí-la.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma caixa sem tampa com base quadrada e um volume de
. Nosso objetivo aqui é descobrir quais devem ser as dimensões dessa caixa para que a quantidade de material usado na construção seja a menor possível. Isso envolve um pouco de matemática, especificamente otimização na geometria. Vamos precisar usar equações para relacionar volume, área de material usado e aplicar um pouco de cálculo para encontrar o mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas variáveis. Como a base é quadrada, vamos chamar o lado da base de
metros e a altura da caixa de
metros. Assim, o volume da caixa pode ser expresso por:
Sabemos que o volume é
, então temos:
Passo 3
Agora, vamos pensar na quantidade de material usado, que corresponde à área total da caixa sem a tampa. A área total
é composta pela área da base mais as áreas das quatro laterais. Então:
Nosso objetivo é minimizar
.
Passo 4
Para simplificar, vamos expressar
em função de
usando a equação do volume:
Substituindo isso na equação da área, temos:
Agora, para encontrar o mínimo de
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Passo 5
Resolvendo a equação
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por 2:
Extraindo a raiz cúbica:
Agora, substituindo
na equação do volume para encontrar
:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado são:
- Lado da base:
- Altura: