Uma caixa de base quadrada e sem tampa tem volume 32m³. Determine as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material a ser usado para construí-la.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma caixa sem tampa com base quadrada e um volume de 32,m³³. Nosso objetivo aqui é descobrir quais devem ser as dimensões dessa caixa para que a quantidade de material usado na construção seja a menor possível. Isso envolve um pouco de matemática, especificamente otimização na geometria. Vamos precisar usar equações para relacionar volume, área de material usado e aplicar um pouco de cálculo para encontrar o mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis. Como a base é quadrada, vamos chamar o lado da base de x metros e a altura da caixa de h metros. Assim, o volume da caixa pode ser expresso por:
V = x^2 cdot h
Sabemos que o volume é 32,m³³, então temos:
x^2 cdot h = 32

Passo 3

Agora, vamos pensar na quantidade de material usado, que corresponde à área total da caixa sem a tampa. A área total A é composta pela área da base mais as áreas das quatro laterais. Então:
A = x^2 + 4 cdot (x cdot h)
Nosso objetivo é minimizar A.

Passo 4

Para simplificar, vamos expressar h em função de x usando a equação do volume:
h = 32x^2
Substituindo isso na equação da área, temos:
A = x^2 + 4 cdot (x cdot 32x^2) = x^2 + 128x
Agora, para encontrar o mínimo de A, vamos derivar A em relação a x e igualar a zero:
dAdx = 2x - 128x^2
Igualando a derivada a zero:
2x - 128x^2 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação 2x - 128x^2 = 0:
2x = 128x^2
Multiplicando ambos os lados por x^2:
2x^3 = 128
Dividindo por 2:
x^3 = 64
Extraindo a raiz cúbica:
x = 4,m
Agora, substituindo x = 4,m na equação do volume para encontrar h:
h = 324^2 = 3216 = 2,m

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado são:
  • Lado da base: 4,m
  • Altura: 2,m

Exercícios relacionados