Uma caixa de base retangular, para conter , deve ser feita de três tipos de material. O custo do material para a tampa e a base é de 0,18 \mathrm{cm}^{2} éR $0,16 \mathrm{cm}^{2} éR $ 0,12 \mathrm{cm}^{2}$. Ache a área lateral da caixa de modo que o custo do material seja mínimo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente construa uma caixa de base retangular de volume 16:cm^3, usando três materiais com custos diferentes para cada face, e ache a área lateral que minimiza o custo total. O conteúdo envolve otimização de funções com restrição (volume fixo) e uso de derivadas parciais.

Passo 2

Definimos as dimensões da caixa como sendo comprimento x, largura y e altura z.
O volume é
xyz = 16
As áreas e custos são:
  1. tampa e base: área total 2xy, custo por área 0,18, contribui com 0,18cdot2xy = 0,36,xy.
  2. frente e fundo: área total 2xz, custo por área 0,16, contribui com 0,16cdot2xz = 0,32,xz.
  3. outros lados: área total 2yz, custo por área 0,12, contribui com 0,12cdot2yz = 0,24,yz.
    Logo o custo total é
C(x,y,z)=0,36,xy + 0,32,xz + 0,24,yz

Passo 3

Usamos a restrição z = tfrac16xy para eliminar z em C. Substituindo,
C(x,y) = 0,36,xy + 0,32,x16xy + 0,24,y16xy =0,36,xy + 5,12y + 3,84x

Passo 4

Para minimizar C(x,y) num ponto interior, impomos
partial Cpartial x=0, partial Cpartial y=0
Calculando:
partial Cpartial x=0,36,y - 3,84,x^-2=0, partial Cpartial y=0,36,x - 5,12,y^-2=0

Passo 5

Do primeiro equacionamos
0,36,y = 3,84x^2 ;Rightarrow; y=3,840,36,x^2=32/1036/1001x^2=3231x^2
Do segundo, de modo análogo, obtém-se
x^3=l(3,840,36r)^25,120,36 =8 ;Rightarrow; x=2
Então
y=32312^2=83, z=16xy=162cdot83=3

Passo 6

A área lateral é a soma das quatro faces verticais, isto é
2xz + 2yz = 2cdot2cdot3 + 2cdot83cdot3 =12 + 16 =28:cm^2

Resposta

A área lateral da caixa que minimiza o custo é 28:cm^2.

Exercícios relacionados