Uma caixa de base retangular, para conter
, deve ser feita de três tipos de material. O custo do material para a tampa e a base é de
0,18
\mathrm{cm}^{2}
R $0,16
\mathrm{cm}^{2}
R $ 0,12
\mathrm{cm}^{2}$. Ache a área lateral da caixa de modo que o custo do material seja mínimo.
Passo 1
O enunciado pede que a gente construa uma caixa de base retangular de volume
, usando três materiais com custos diferentes para cada face, e ache a área lateral que minimiza o custo total. O conteúdo envolve otimização de funções com restrição (volume fixo) e uso de derivadas parciais.
Passo 2
Definimos as dimensões da caixa como sendo comprimento
, largura
e altura
.
O volume é
O volume é
As áreas e custos são:
- tampa e base: área total
, custo por área , contribui com . - frente e fundo: área total
, custo por área , contribui com . - outros lados: área total
, custo por área , contribui com .
Logo o custo total é
Passo 3
Usamos a restrição
para eliminar
em
. Substituindo,
Passo 4
Para minimizar
num ponto interior, impomos
Calculando:
Passo 5
Do primeiro equacionamos
Do segundo, de modo análogo, obtém-se
Então
Passo 6
A área lateral é a soma das quatro faces verticais, isto é
Resposta
A área lateral da caixa que minimiza o custo é
.