Verifique se a função abaixo possui ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
possui ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela. O conteúdo envolvido é cálculo de funções de duas variáveis: vamos calcular o gradiente para achar pontos críticos e depois usar a matriz Hessiana para classificá-los.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero:
Da segunda equação vem
, pois
. Substituindo em
dá
, logo
.
Assim o único ponto crítico é .
Assim o único ponto crítico é
Passo 3
Agora precisamos dos segundos derivados:
A matriz Hessiana é
Passo 4
Em
temos
O determinante principal de ordem
é
e o determinante de
é
Como
, a Hessiana é indefinida e o ponto crítico é um ponto de sela.
Resposta
A função tem um único ponto crítico em
, que é um ponto de sela.