Verifique se a função abaixo possui ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
f(x, y)=e^x / y-5 x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=e^x/y-5x
possui ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela. O conteúdo envolvido é cálculo de funções de duas variáveis: vamos calcular o gradiente para achar pontos críticos e depois usar a matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=1y,e^x/y-5, partial fpartial y=-xy^2,e^x/y
Igualando a zero:
1y,e^x/y=5, -xy^2,e^x/y=0
Da segunda equação vem ;x=0, pois e^x/yneq0. Substituindo em
tfrac1ye^0/y=5 1/y=5, logo y=1/5.
Assim o único ponto crítico é l(0,1/5r).

Passo 3

Agora precisamos dos segundos derivados:
fxx=1y^2,e^x/y, fxy=-e^x/yl(1y^2+xy^3r), fyy=e^x/yl(2xy^3+x^2y^4r)
A matriz Hessiana é
H= fxx & fxy[6pt] fxy & fyy ]

Passo 4

Em l(0,1/5r) temos
fxx(0,1/5)=25, fxy(0,1/5)=-25, fyy(0,1/5)=0
O determinante principal de ordem 1 é
D1=fxx(0,1/5)=25>0,
e o determinante de H é
D2 =25cdot0-(-25)^2 =-625<0
Como D2<0, a Hessiana é indefinida e o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

A função tem um único ponto crítico em l(0,tfrac15r), que é um ponto de sela.

Exercícios relacionados