A temperatura
nos pontos de um disco unitário centrado na origem é dada por
. Encontre os pontos onde o disco está mais quente.
Passo 1
Nesse problema temos
definida no disco unitário
Como
é contínua em
(que é compacto), sabemos que o máximo ocorre ou em pontos críticos no interior ou no contorno. Vamos calcular os dois casos.
Passo 2
No interior, procuramos pontos críticos de
fazendo
e igualando a zero. Isso dá
e
. Logo o único ponto crítico interno é
, com
.
Passo 3
No contorno
, usamos multiplicadores de Lagrange. Definimos
e impomos
, ou seja,
Passo 4
Esse sistema equivale a
Se
ou
, obtemos
. Para
e
, dividindo as duas primeiras equações:
Substituindo em
fica
e
, com sinal igual ou oposto.
Passo 5
Basta avaliar
nesses pontos. Se
,
Se
,
Como
é o maior valor, o máximo de
no disco é
, alcançado quando
e
.
Resposta
Os pontos onde
atinge o máximo são
com
.