A temperatura T nos pontos de um disco unitário centrado na origem é dada por T(x, y)=x y. Encontre os pontos onde o disco está mais quente.

Passo 1

Nesse problema temos T(x,y)=xy definida no disco unitário
D=(x,y)mid x^2+y^2<=1
Como T é contínua em D (que é compacto), sabemos que o máximo ocorre ou em pontos críticos no interior ou no contorno. Vamos calcular os dois casos.

Passo 2

No interior, procuramos pontos críticos de T fazendo
partial Tpartial x=y, partial Tpartial y=x,
e igualando a zero. Isso dá y=0 e x=0. Logo o único ponto crítico interno é (0,0), com T(0,0)=0.

Passo 3

No contorno x^2+y^2=1, usamos multiplicadores de Lagrange. Definimos
g(x,y)=x^2+y^2-1=0
e impomos nabla T=lambdanabla g, ou seja,
(y,x)=(2lambda x,2lambda y)

Passo 4

Esse sistema equivale a
y=2lambda x, x=2lambda y, x^2+y^2=1
Se x=0 ou y=0, obtemos T=0. Para xneq0 e yneq0, dividindo as duas primeiras equações:
yx=xy implies y^2=x^2 implies y=pm x
Substituindo em x^2+y^2=1 fica x=pm1raiz2 e y=pm1raiz2, com sinal igual ou oposto.

Passo 5

Basta avaliar T nesses pontos. Se y=x=pm1/raiz2,
T=1raiz2cdot1raiz2=12
Se y=-x,
T=-1raiz2cdot1raiz2=-12
Como tfrac12 é o maior valor, o máximo de T no disco é tfrac12, alcançado quando y=x e x^2+y^2=1.

Resposta

Os pontos onde T atinge o máximo são
l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r) e l(-tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2r),
com Tmax=tfrac12.

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