Encontre os pontos de máximo e mínimo globais de
em
e
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos globais de
sobre o conjunto
que é um triângulo fechado e limitado. Pelo Teorema de Weierstrass, extremos existem e estão ou em pontos críticos interiores (onde
) ou em pontos das arestas de
. Vamos aplicar essa estratégia.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Igualando a zero, obtemos
O ponto
satisfaz
e
; é interior de uma aresta (x
), mas já o trataremos nas arestas. O valor ali é
Passo 3
Aresta
,
.
Então
Então
Portanto sobre essa aresta
.
Passo 4
Aresta
,
.
Derivando em
:
Avaliações:
Logo nesta aresta o mínimo local é
em
e o valor máximo é
nas pontas.
Passo 5
Aresta
, com
e
.
Derivando:
Avaliações:
Nesta aresta o máximo é
em
e o mínimo é
.
Passo 6
Reunindo todos os candidatos:
O valor mais baixo é
em
. O valor mais alto é
em
.
Resposta
O mínimo global vale
em
.
O máximo global vale em
.
O máximo global vale