Encontre os pontos de máximo e mínimo globais de f(x, y)=x^2+3 x y-x em A=(x, y) in R^2 ; x >= 0, y >= 0 e x+y <= 1.

Passo 1

O enunciado pede os extremos globais de f(x,y)=x^2+3xy-x sobre o conjunto
A=(x,y)inR^2mid x>=0,;y>=0,;x+y<=1,
que é um triângulo fechado e limitado. Pelo Teorema de Weierstrass, extremos existem e estão ou em pontos críticos interiores (onde nabla f =0) ou em pontos das arestas de A. Vamos aplicar essa estratégia.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
partial fpartial x=2x+3y-1, partial fpartial y=3x
Igualando a zero, obtemos
3x=0implies x=0, 2cdot0+3y-1=0implies y=tfrac13
O ponto l(0,tfrac13r) satisfaz x+y=0+tfrac13<=1 e x,y>=0; é interior de uma aresta (x =0), mas já o trataremos nas arestas. O valor ali é
fl(0,tfrac13r)=0

Passo 3

Aresta x=0, yin[0,1].
Então
f(0,y)=0^2+3cdot0cdot y-0=0
Portanto sobre essa aresta fequiv0.

Passo 4

Aresta y=0, xin[0,1].
f(x,0)=x^2-x=x(x-1)
Derivando em x:
ddx[x(x-1)]=2x-1=0implies x=tfrac12
Avaliações:
f(0,0)=0, f(1,0)=0, fl(tfrac12,0r)=tfrac14-tfrac12=-tfrac14
Logo nesta aresta o mínimo local é -tfrac14 em l(tfrac12,0r) e o valor máximo é 0 nas pontas.

Passo 5

Aresta x+y=1, com xin[0,1] e y=1-x.
fl(x,1-xr)=x^2+3x(1-x)-x=-2x^2+2x=2x(1-x)
Derivando:
ddx[2x(1-x)]=2(1-2x)=0implies x=tfrac12,;y=tfrac12
Avaliações:
f(0,1)=0, f(1,0)=0, fl(tfrac12,tfrac12r)=2cdottfrac12cdottfrac12=tfrac12
Nesta aresta o máximo é tfrac12 em l(tfrac12,tfrac12r) e o mínimo é 0.

Passo 6

Reunindo todos os candidatos:
fl(tfrac12,0r)=-tfrac14, f(x,0)=0 nas pontas, f(0,y)=0 toda aresta, fl(tfrac12,tfrac12r)=tfrac12
O valor mais baixo é -tfrac14 em l(tfrac12,0r). O valor mais alto é tfrac12 em l(tfrac12,tfrac12r).

Resposta

O mínimo global vale -tfrac14 em l(tfrac12,0r).
O máximo global vale tfrac12 em l(tfrac12,tfrac12r).

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