Verifique se a função abaixo possui ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para classificar os pontos críticos (máximo local, mínimo local ou ponto de sela). Vamos usar o método das derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e, em seguida, aplicar o teste da matriz Hessiana para classificá-los.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de . Defina . Então
Igualando cada uma a zero, obtemos o sistema
Simplificando cada equação, vem
Passo 3
Resolvendo o sistema
fazemos, por exemplo, y=4 e x=3. Logo, o único ponto crítico é
(x,y) = (3,4)
Passo 4
Agora avaliamos a Hessiana de h. Das derivadas parciais temos
partial^2hpartial x^2 = -2 ;-;6cdot 3 = -20, partial^2hpartial x partial y = -6cdot 4 = -24,
partial^2hpartial y^2 = -2 ;-;8cdot 4 = -34
Assim, a matriz Hessiana é
H = -20 & -24 -24 & -34
O determinante desta matriz é
D = (-20)(-34) - (-24)^2 = 680 - 576 = 104 > 0,
e partial^2hpartial x^2 = -20 < 0. Pelo teste de Sylvester, isso indica que h tem um máximo local em (3,4).
Resposta
A função h possui um ponto de máximo local em (3,4).