Verifique se a função abaixo possui ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
h(x, y)=-x^2-y^2-(3 x+4 y-26)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
h(x,y) = -x^2 - y^2 - l(3x + 4y - 26r)^2
e pede para classificar os pontos críticos (máximo local, mínimo local ou ponto de sela). Vamos usar o método das derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e, em seguida, aplicar o teste da matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de h. Defina phi = 3x + 4y - 26. Então
partial hpartial x = -2x ;-;2phicdot 3 = -2x -6phi,
partial hpartial y = -2y ;-;2phicdot 4 = -2y -8phi
Igualando cada uma a zero, obtemos o sistema
-2x -6(3x+4y-26) = 0,
-2y -8(3x+4y-26) = 0
Simplificando cada equação, vem
5x + 6y - 39 = 0,
12x +17y -104 = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema
5x + 6y = 39, 12x +17y = 104,
fazemos, por exemplo, y=4 e x=3. Logo, o único ponto crítico é
(x,y) = (3,4)

Passo 4

Agora avaliamos a Hessiana de h. Das derivadas parciais temos
partial^2hpartial x^2 = -2 ;-;6cdot 3 = -20, partial^2hpartial x partial y = -6cdot 4 = -24,
partial^2hpartial y^2 = -2 ;-;8cdot 4 = -34
Assim, a matriz Hessiana é
H = -20 & -24 -24 & -34
O determinante desta matriz é
D = (-20)(-34) - (-24)^2 = 680 - 576 = 104 > 0,
e partial^2hpartial x^2 = -20 < 0. Pelo teste de Sylvester, isso indica que h tem um máximo local em (3,4).

Resposta

A função h possui um ponto de máximo local em (3,4).

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