2- Um grupo de 30 políticos, sendo 12 do partido X, resolve formar, de forma aleatória, uma comissão com 5 políticos. Qual é a probabilidade de que políticos de X sejam maioria na comissão? R: 0,3042

Passo 1

O enunciado diz: temos um grupo de 30 políticos, dentre os quais 12 são do partido X. Seleciona-se aleatoriamente uma comissão de 5 políticos. A pergunta é: qual é a probabilidade de que políticos de X sejam maioria na comissão?
Informações importantes dadas:
\text{total de políticos} = 30,í
\text{número de políticos do partido } X = 12,úí
\text{número de políticos não-}X = 30-12 = 18,úíã
\text{tamanho da comissão} = 5.ã
O evento “políticos de X são maioria” significa que, na comissão de 5, há pelo menos 3 políticos de X (ou seja, 3, 4 ou 5 membros do partido X).

Passo 2

Para contar de quantas formas podemos formar uma comissão com exatamente k políticos de X usamos combinações (escolhas sem ordem). A ideia é: escolher k dentre os 12 do partido X e escolher os restantes 5-k dentre os 18 que não são X. O número de comissões com exatamente k do X é
\binom{12}{k}\cdot\binom{18}{5-k}.
O número total de comissões de 5 pessoas tiradas dos 30 é
\binom{30}{5}.
Portanto a probabilidade de exatamente k políticos de X é
\frac{\binom{12}{k}\cdot\binom{18}{5-k}}{\binom{30}{5}}.

Passo 3

Como queremos “maioria” de X, somamos as probabilidades de k=3,4,5:
P(\text{maioria de }X)=\sum_{k=3}^{5}\frac{\binom{12}{k}\cdot\binom{18}{5-k}}{\binom{30}{5}}.

Passo 4

Vamos calcular o denominador \binom{30}{5}. Pela definição de combinação:
\binom{30}{5}=\frac{30\cdot29\cdot28\cdot27\cdot26}{5!}=\frac{30\cdot29\cdot28\cdot27\cdot26}{120}.
Calculemos passo a passo:
30\cdot29=870,
870\cdot28=24\,360,
24\,360\cdot27=657\,720,
657\,720\cdot26=17\,100\,720,
\frac{17\,100\,720}{120}=142\,506.
Logo
\binom{30}{5}=142\,506.

Passo 5

Agora calculamos os termos do numerador para k=3,4,5.
Primeiro k=3:
\binom{12}{3}=\frac{12\cdot11\cdot10}{3\cdot2\cdot1}=\frac{1\,320}{6}=220,
\binom{18}{2}=\frac{18\cdot17}{2}=153.
Número de comissões com exatamente 3 de X:
220\cdot153=33\,660.

Passo 6

Agora k=4:
\binom{12}{4}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{11\,880}{24}=495,
\binom{18}{1}=18.
Número de comissões com exatamente 4 de X:
495\cdot18=8\,910.

Passo 7

Agora k=5:
\binom{12}{5}=792\quad(\text{valor padrão, pode ser calculado como } \frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{120}=792),ã
\binom{18}{0}=1.
Número de comissões com exatamente 5 de X:
792\cdot1=792.

Passo 8

Somamos os casos favoráveis:
\text{favoráveis}=33\,660+8\,910+792=43\,362.á
Portanto a probabilidade pedida é
P=\frac{43\,362}{142\,506}.

Passo 9

Podemos simplificar a fração dividindo por 6 por exemplo:
\frac{43\,362}{142\,506}=\frac{7\,227}{23\,751}.
Dividindo novamente por 3:
\frac{7\,227}{23\,751}=\frac{2\,409}{7\,917}.
Dividindo mais uma vez por 3:
\frac{2\,409}{7\,917}=\frac{803}{2\,639}.
A fração está reduzida a
\frac{803}{2\,639}.

Passo 10

Agora convertemos para decimal para ter a probabilidade em forma numérica. Fazendo a divisão longa de 803 por 2\,639 (mostrando os primeiros dígitos):
\frac{803}{2\,639}=0,30428192\ldots
Arredondando de forma usual para 5 casas decimais temos 0,30428. Se preferir arredondar a 4 casas decimais, fica 0,3043.

Resposta

0,30428

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