Ex. 7 Uma caixa contém 24 lâmpadas, das quais duas estão defeituosas. Se uma pessoa seleciona 10 lâmpadas ao acaso, sem reposição, qual é a probabilidade de que as duas lâmpadas defeituosas sejam selecionadas?

Passo 1

O enunciado diz que temos 24 lâmpadas, das quais 2 estão defeituosas, e vamos escolher 10 lâmpadas sem reposição. Queremos a probabilidade de que ambas as lâmpadas defeituosas apareçam na amostra. Esse é um caso clássico de distribuição hipergeométrica, em que usamos contagens de combinações para calcular probabilidades sem reposição.

Passo 2

O número total de maneiras de escolher 10 lâmpadas dentre as 24 é dado por
\binom{24}{10}.

Passo 3

Para que as duas lâmpadas defeituosas sejam selecionadas, devemos escolher as 2 defeituosas (há \binom{2}{2} maneiras) e, simultaneamente, escolher mais 8 lâmpadas dentre as 22 boas (há \binom{22}{8} maneiras). Assim, o número de casos favoráveis é
\binom{2}{2}\,\binom{22}{8}.

Passo 4

A probabilidade procurada é a razão entre casos favoráveis e total de casos possíveis:
P = \frac{\binom{2}{2}\,\binom{22}{8}}{\binom{24}{10}} = \frac{\binom{22}{8}}{\binom{24}{10}} \approx 0,1632.

Resposta

P = \frac{\binom{2}{2}\,\binom{22}{8}}{\binom{24}{10}} \approx 0,1632.

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