Ex. 5 Considere dois eventos A e B com \mathbb{P}(A)=0,4 \mathrm{e} \mathbb{P}(B)=0,7. Determine os valores máximo e mínimo possíveis de \mathbb{P}(A \cap B) e as condições sob as quais cada um desses valores é atingido.

Passo 1

O enunciado dá dois eventos A e B com
\mathbb{P}(A)=0,4, \quad \mathbb{P}(B)=0,7
e pede os possíveis valores máximo e mínimo de \mathbb{P}(A\cap B).
O conteúdo principal é usar a desigualdade de probabilidade e a fórmula da união de eventos:
\mathbb{P}(A\cup B) =\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B),
além de saber que \mathbb{P}(A\cup B)\le1 e \mathbb{P}(A\cap B)\ge0.

Passo 2

Da expressão
\mathbb{P}(A\cup B) =\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)
e sabendo que \mathbb{P}(A\cup B)\le1, segue
1 \ge \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B) \quad\Longrightarrow\quad \mathbb{P}(A\cap B)\ge \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-1.
Além disso, sempre vale
0\le \mathbb{P}(A\cap B)\le \min\bigl(\mathbb{P}(A),\mathbb{P}(B)\bigr).

Passo 3

Para o valor mínimo de \mathbb{P}(A\cap B) usamos
\mathbb{P}(A\cap B)\ge \max\bigl(0,\;\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-1\bigr).
Substituindo \mathbb{P}(A)=0,4 e \mathbb{P}(B)=0,7, temos
\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-1 = 0,4 + 0,7 - 1 = 0,1
e 0,1>0. Logo o mínimo possível é
\min \mathbb{P}(A\cap B)=0,1.

Passo 4

Para o valor máximo de \mathbb{P}(A\cap B) usamos
\mathbb{P}(A\cap B)\le \min\bigl(\mathbb{P}(A),\mathbb{P}(B)\bigr) =\min(0,4,0,7)=0,4.
Logo o máximo possível é
\max \mathbb{P}(A\cap B)=0,4.

Passo 5

Falando das condições para atingir esses extremos:
  • Para \mathbb{P}(A\cap B)=0,4, basta que A\subseteq B. Aí todo o A está dentro de B.
  • Para \mathbb{P}(A\cap B)=0,1, colocamos A e B o mais “deslocados” possível: como \mathbb{P}(B^c)=0,3<\mathbb{P}(A), a parte extra de A ocupa todo B^c (medida 0,3) e sobra apenas 0,1 de A dentro de B.

Resposta

mínimo de \mathbb{P}(A\cap B)=0,1 (quando A cobre todo B^c);
máximo de \mathbb{P}(A\cap B)=0,4 (quando A\subseteq B).

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