O Senado dos Estados Unidos contém dois senadores de cada um dos 50 estados.
Se um comitê de oito senadores é selecionado ao acaso, qual é a probabilidade de que ele contenha pelo menos um dos dois senadores de um certo estado específico?

Passo 1

O Senado tem 100 senadores no total e estamos escolhendo uma comissão de 8 sem reposição. Queremos a probabilidade de incluir pelo menos um dos 2 senadores de um estado específico. Como “pelo menos um” é mais difícil de contar diretamente, vamos usar o complemento: calcular a probabilidade de não escolher nenhum dos dois e depois fazer 1 menos esse valor.

Passo 2

A probabilidade de não escolher nenhum dos dois senadores desse estado é o número de formas de escolher 8 senadores entre os outros 98 divididas pelo número total de formas de escolher 8 entre 100. Em símbolos:
P(\text{nenhum}) = \frac{\binom{98}{8}}{\binom{100}{8}}.

Passo 3

Portanto, a probabilidade de escolher pelo menos um dos dois senadores é
1 - P(\text{nenhum}) = 1 - \frac{\binom{98}{8}}{\binom{100}{8}}.

Resposta

1 - \frac{\binom{98}{8}}{\binom{100}{8}}.

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