O Senado dos Estados Unidos contém dois senadores de cada um dos 50 estados.
Qual é a probabilidade de que um grupo de 50 senadores selecionados ao acaso contenha um senador de cada estado?

Passo 1

O enunciado diz que há 100 senadores no total, organizados em 50 pares (2 por estado), e que escolhemos aleatoriamente 50 senadores. Queremos a probabilidade de sair exatamente um senador de cada estado. Para resolver isso, vamos usar contagem de casos favoráveis e casos totais.

Passo 2

O número total de formas de escolher 50 senadores dentre 100 é dado pelo binômio
\binom{100}{50}.

Passo 3

Para que haja exatamente um senador de cada estado, em cada um dos 50 pares de senadores devemos escolher 1 dos 2. Como são decisões independentes por estado, o número de formas favoráveis é
2^{50}.

Passo 4

A probabilidade pedida é a razão entre casos favoráveis e casos totais, ou seja
\frac{2^{50}}{\binom{100}{50}}.

Resposta

\displaystyle \frac{2^{50}}{\binom{100}{50}}

Exercícios relacionados