Suponha que um comitê de 12 pessoas será selecionado aleatoriamente dentre 100 pessoas. Qual é a probabilidade (clássica) de duas pessoas em particular, A e B, serem selecionadas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade clássica aqui. O enunciado diz que um comitê de 12 pessoas vai ser escolhido aleatoriamente entre 100 pessoas. A pergunta é: qual a chance de duas pessoas específicas, A e B, serem escolhidas para esse comitê? Para resolver isso, vamos precisar entender combinações e a fórmula da probabilidade clássica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas maneiras diferentes podemos escolher 12 pessoas de um grupo de 100. Isso é uma combinação, porque a ordem não importa. A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aqui, $ n = 100 $ e $ k = 12 $. Então, o total de maneiras de formar o comitê é:
n = 100

Passo 3

Agora, queremos saber de quantas dessas combinações o comitê inclui tanto a pessoa A quanto a pessoa B. Se A e B já estão escolhidos, precisamos selecionar as outras 10 pessoas restantes das 98 que não são A nem B. Então, usamos a combinação novamente:
C(98, 10) = 98!10!(98 - 10)!

Passo 4

A probabilidade clássica é calculada dividindo o número de resultados favoráveis pelo número total de resultados possíveis. Então, a probabilidade de A e B estarem no comitê é:
P = C(98, 10)C(100, 12)

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que:
C(98, 10)C(100, 12) = 98!10!88!100!12!88! = 98! cdot 12!10! cdot 100! = 12 times 11100 times 99 = 1329900 = 221650 = 2150 = 175

Resposta

A probabilidade de as duas pessoas A e B serem selecionadas para o comitê é de 175, ou aproximadamente 1,33 %.

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