Uma caixa A contém uma bola vermelha e uma bola preta. Uma outra caixa B contém duas bola pretas e duas vermelhas. Suponha agora que uma bola é retirada, ao acaso, da Caixa A e colocada na Caixa B. Se duas bolas são retiradas ao mesmo tempo da caixa B, após ter sido efetuada a transferência, determine a probabilidade de obtermos uma bola vermelha e uma bola preta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem duas caixas com bolas vermelhas e pretas. Vamos precisar usar conceitos básicos de probabilidade e combinações para descobrir a chance de tirar uma bola vermelha e uma preta depois de fazer a transferência. Vamos por partes para entender tudo direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que temos inicialmente:
- Caixa A: 1 bola vermelha e 1 bola preta.
- Caixa B: 2 bolas pretas e 2 bolas vermelhas.
O que vai acontecer é isso: vamos tirar uma bola da Caixa A e colocar na Caixa B. Depois, vamos tirar duas bolas da Caixa B e queremos saber a probabilidade de uma ser vermelha e a outra preta.
Passo 3
Vamos pensar nos dois cenários possíveis quando transferimos uma bola da Caixa A para a Caixa B:
- Transferir uma bola vermelha da Caixa A para a Caixa B.
- Transferir uma bola preta da Caixa A para a Caixa B.
Como a Caixa A tem 1 bola vermelha e 1 preta, cada cenário tem a mesma probabilidade de acontecer, ou seja, 50% para cada.
Passo 4
Agora, vamos analisar cada cenário:
Cenário 1: Transferindo uma bola vermelha
- Caixa B vai ter: 3 bolas vermelhas e 2 bolas pretas.
- Total de bolas na Caixa B: 5.
Queremos tirar 2 bolas da Caixa B e que uma seja vermelha e a outra preta.
Para calcular isso, usamos a combinação de como podemos escolher essas bolas:
- Número de maneiras de escolher 1 vermelha e 1 preta: $ 3 \times 2 = 6 $ maneiras.
- Número total de maneiras de escolher 2 bolas: $ \binom{5}{2} = 10 $.
Então, a probabilidade nesse cenário é:
Cenário 2: Transferindo uma bola preta
- Caixa B vai ter: 2 bolas vermelhas e 3 bolas pretas.
- Total de bolas na Caixa B: 5.
Novamente, queremos uma vermelha e uma preta.
Calculando:
- Número de maneiras de escolher 1 vermelha e 1 preta: $ 2 \times 3 = 6 $ maneiras.
- Número total de maneiras de escolher 2 bolas: $ \binom{5}{2} = 10 $.
A probabilidade nesse cenário também é:
Passo 5
Como os dois cenários têm a mesma probabilidade de 3/5, e cada cenário ocorre com probabilidade de 1/2, podemos calcular a probabilidade total usando a Regra da Probabilidade Total:
Resposta
A probabilidade de obter uma bola vermelha e uma bola preta é
.