Em uma classe de 30 alunos da disciplina de probabilidade e estatística, 20 já tinham sido aprovados em cálculo numérico, 18 em cálculo III e 12 em ambas as disciplinas. Se um aluno for selecionado aleatoriamente, determine a probabilidade de que:
b) tenha sido aprovado em cálculo numérico ou cálculo III;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre probabilidade na área de probabilidade e estatística. A gente vai precisar entender como calcular a probabilidade de um evento ocorrer, especificamente a probabilidade de um aluno ter sido aprovado em cálculo numérico ou em cálculo III. Para isso, vamos usar conceitos de conjuntos e a fórmula da probabilidade para união de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Total de alunos na classe: 30
  • Alunos aprovados em cálculo numérico: 20
  • Alunos aprovados em cálculo III: 18
  • Alunos aprovados nas duas disciplinas: 12

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de um aluno ter sido aprovado em cálculo numérico ou em cálculo III. Na linguagem de probabilidade, isso é representado como $ P(A \cup B) $, onde:
  • $ A $ é o evento “aprovado em cálculo numérico”
  • $ B $ é o evento “aprovado em cálculo III”

Passo 4

Para calcular $ P(A \cup B) $, usamos a fórmula da união de dois eventos:
P(A cup B)
Isso significa que somamos as probabilidades de cada evento acontecer individualmente e subtraímos a probabilidade de ambos acontecerem ao mesmo tempo, para evitar contar duas vezes.

Passo 5

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  • $ P(A) = \frac{número de alunos aprovados em cálculo numérico}{total de alunos} = \frac{20}{30} $
  • $ P(B) = \frac{número de alunos aprovados em cálculo III}{total de alunos} = \frac{18}{30} $
  • $ P(A \cap B) = \frac{número de alunos aprovados nas duas disciplinas}{total de alunos} = \frac{12}{30} $

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula:
P(A cup B) = 2030 + 1830 - 1230

Passo 7

Vamos fazer as contas:
P(A cup B) = 20 + 18 - 1230 = 2630

Passo 8

Simplificando a fração:
2630 = 1315

Resposta

A probabilidade de que um aluno selecionado aleatoriamente tenha sido aprovado em cálculo numérico ou em cálculo III é $ \frac{13}{15} $.

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