Uma caixa A contém uma bola vermelha e uma bola preta. Uma outra caixa B contém um bola branca e uma vermelha. Escolhemos, ao acaso, uma das caixas e uma bola também é retirada ao acaso.
a) Suponha que uma bola é retirada, ao acaso, da urna A e colocada em B. Determine a probabilidade de que em duas retiradas em B, ao acaso e com reposição, obtermos pelo menos uma bola vermelha. R: 13/18
b) Suponha agora que as duas caixas são agrupadas em uma só, qual é a probabilidade de, em duas retiradas ao acaso e sem reposição, obtermos bolas de cores diferentes? R:
a) Suponha que uma bola é retirada, ao acaso, da urna A e colocada em B. Determine a probabilidade de que em duas retiradas em B, ao acaso e com reposição, obtermos pelo menos uma bola vermelha. R: 13/18
b) Suponha agora que as duas caixas são agrupadas em uma só, qual é a probabilidade de, em duas retiradas ao acaso e sem reposição, obtermos bolas de cores diferentes? R:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas caixas de bolas com cores diferentes. Na caixa A, temos uma bola vermelha e uma preta. Na caixa B, tem uma bola branca e uma vermelha. A gente vai tirar uma bola da caixa A e colocar na caixa B. Depois disso, vamos fazer duas retiradas da caixa B, com reposição, e queremos saber a probabilidade de tirar pelo menos uma bola vermelha nessas duas retiradas. Para resolver isso, vamos precisar entender de probabilidade básica e como calcular probabilidades compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece quando retiramos uma bola da caixa A e colocamos na caixa B. A caixa A tem 2 bolas: uma vermelha e uma preta. Então, a probabilidade de tirar a vermelha é $ \frac{1}{2} $ e a de tirar a preta também é $ \frac{1}{2} $.
Passo 3
Se tirarmos a bola vermelha da caixa A e colocarmos na caixa B, a caixa B vai ficar com duas bolas vermelhas e uma branca. Então, agora a caixa B tem 3 bolas: 2 vermelhas e 1 branca.
Passo 4
Se tirarmos a bola preta da caixa A e colocarmos na caixa B, a caixa B vai ter a bola vermelha, a branca e agora a preta. Então, a caixa B terá 3 bolas: 1 vermelha, 1 branca e 1 preta.
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar pelo menos uma bola vermelha nas duas retiradas da caixa B, considerando os dois cenários:
-
Bola vermelha foi transferida para B:
- Probabilidade de tirar uma vermelha em cada retirada: $ \frac{2}{3} $
- Como as retiradas são com reposição, a probabilidade de tirar pelo menos uma vermelha nas duas tentativas é:
-
Bola preta foi transferida para B:
- Probabilidade de tirar uma vermelha em cada retirada: $ \frac{1}{3} $
- Probabilidade de tirar pelo menos uma vermelha nas duas tentativas:
Passo 6
Agora, precisamos considerar a probabilidade de cada cenário acontecer:
- Transferir a vermelha para B: $ \frac{1}{2} $
- Transferir a preta para B: $ \frac{1}{2} $
Então, a probabilidade total é a soma das probabilidades de cada cenário multiplicadas pelas respectivas probabilidades de sucesso:
Resposta
A probabilidade é $ \dfrac{13}{18} $.