Uma caixa A contém uma bola vermelha e uma bola preta. Uma outra caixa B contém um bola branca e uma vermelha. Escolhemos, ao acaso, uma das caixas e uma bola também é retirada ao acaso.
a) Suponha que uma bola é retirada, ao acaso, da urna A e colocada em B. Determine a probabilidade de que em duas retiradas em B, ao acaso e com reposição, obtermos pelo menos uma bola vermelha. R: 13/18
b) Suponha agora que as duas caixas são agrupadas em uma só, qual é a probabilidade de, em duas retiradas ao acaso e sem reposição, obtermos bolas de cores diferentes? R: 5 / 6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas caixas de bolas com cores diferentes. Na caixa A, temos uma bola vermelha e uma preta. Na caixa B, tem uma bola branca e uma vermelha. A gente vai tirar uma bola da caixa A e colocar na caixa B. Depois disso, vamos fazer duas retiradas da caixa B, com reposição, e queremos saber a probabilidade de tirar pelo menos uma bola vermelha nessas duas retiradas. Para resolver isso, vamos precisar entender de probabilidade básica e como calcular probabilidades compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece quando retiramos uma bola da caixa A e colocamos na caixa B. A caixa A tem 2 bolas: uma vermelha e uma preta. Então, a probabilidade de tirar a vermelha é $ \frac{1}{2} $ e a de tirar a preta também é $ \frac{1}{2} $.

Passo 3

Se tirarmos a bola vermelha da caixa A e colocarmos na caixa B, a caixa B vai ficar com duas bolas vermelhas e uma branca. Então, agora a caixa B tem 3 bolas: 2 vermelhas e 1 branca.

Passo 4

Se tirarmos a bola preta da caixa A e colocarmos na caixa B, a caixa B vai ter a bola vermelha, a branca e agora a preta. Então, a caixa B terá 3 bolas: 1 vermelha, 1 branca e 1 preta.

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar pelo menos uma bola vermelha nas duas retiradas da caixa B, considerando os dois cenários:
  1. Bola vermelha foi transferida para B:
    • Probabilidade de tirar uma vermelha em cada retirada: $ \frac{2}{3} $
    • Como as retiradas são com reposição, a probabilidade de tirar pelo menos uma vermelha nas duas tentativas é: 23
  2. Bola preta foi transferida para B:
    • Probabilidade de tirar uma vermelha em cada retirada: $ \frac{1}{3} $
    • Probabilidade de tirar pelo menos uma vermelha nas duas tentativas: 1 - ( 13 times 13 ) = 1 - 19 = 89

Passo 6

Agora, precisamos considerar a probabilidade de cada cenário acontecer:
  • Transferir a vermelha para B: $ \frac{1}{2} $
  • Transferir a preta para B: $ \frac{1}{2} $
Então, a probabilidade total é a soma das probabilidades de cada cenário multiplicadas pelas respectivas probabilidades de sucesso:
12

Resposta

A probabilidade é $ \dfrac{13}{18} $.

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