Uma caixa contém 3 bolas brancas e uma bola preta. Uma pessoa vai retirar as bolas uma por uma, até conseguir apanhar a bola preta. Seja X o número de tentativas que serão necessárias. Determine:
d. Suponha que as retiradas sejam feitas com reposição. Nessas condições, como seria a função de probabilidade e a função de distribuição acumulada da variável aleatória X.
d. Suponha que as retiradas sejam feitas com reposição. Nessas condições, como seria a função de probabilidade e a função de distribuição acumulada da variável aleatória X.
Passo 1
O problema diz que a gente tem uma caixa com 3 bolas brancas e 1 preta, e vai tirar bolas “com reposição” até sair a preta. A variável aleatória
é o número de retiradas até aparecer a preta.
Conteúdo: distribuição geométrica (número de tentativas até o primeiro sucesso), funções de probabilidade (PMF) e distribuição acumulada (CDF). Vamos precisar da probabilidade de sucesso em cada tentativa e usar as fórmulas padrão da geométrica.
Conteúdo: distribuição geométrica (número de tentativas até o primeiro sucesso), funções de probabilidade (PMF) e distribuição acumulada (CDF). Vamos precisar da probabilidade de sucesso em cada tentativa e usar as fórmulas padrão da geométrica.
Passo 2
Como há reposição, cada tentativa é independente e a chance de tirar a bola preta é sempre
Então a chance de “falhar” (tirar branca) é
Passo 3
A distribuição geométrica diz que
porque você precisa de
falhas seguidas de 1 sucesso. Substituindo
:
Passo 4
Para achar a função de distribuição acumulada
, usamos
Logo, com
:
Resposta
Função de probabilidade (PMF):
Função de distribuição acumulada (CDF):