Uma caixa contém 3 bolas brancas e uma bola preta. Uma pessoa vai retirar as bolas uma por uma, até conseguir apanhar a bola preta. Seja X o número de tentativas que serão necessárias. Determine:
d. Suponha que as retiradas sejam feitas com reposição. Nessas condições, como seria a função de probabilidade e a função de distribuição acumulada da variável aleatória X.

Passo 1

O problema diz que a gente tem uma caixa com 3 bolas brancas e 1 preta, e vai tirar bolas “com reposição” até sair a preta. A variável aleatória é o número de retiradas até aparecer a preta.
Conteúdo: distribuição geométrica (número de tentativas até o primeiro sucesso), funções de probabilidade (PMF) e distribuição acumulada (CDF). Vamos precisar da probabilidade de sucesso em cada tentativa e usar as fórmulas padrão da geométrica.

Passo 2

Como há reposição, cada tentativa é independente e a chance de tirar a bola preta é sempre
p = P(preta) = 14
Então a chance de “falhar” (tirar branca) é
1 - p = 34

Passo 3

A distribuição geométrica diz que
P(X = k) = (1 - p)^,k-1,p,
porque você precisa de P(X = k) = l(tfrac34r)^,k-1,tfrac14, k = 1,2,3,dots falhas seguidas de 1 sucesso. Substituindo :

Passo 4

Para achar a função de distribuição acumulada F(k)=sumi=1^kP(X=i) =1 - P(X > k) =1 - (1-p)^k , usamos
F(k) = 1 - l(tfrac34r)^k, k = 1,2,3,dots
Logo, com :

Resposta

Função de probabilidade (PMF):
P(X = k) = l(tfrac34r)^,k-1,tfrac14, k = 1,2,dots
Função de distribuição acumulada (CDF):
F(k) = P(X <= k) = 1 - l(tfrac34r)^k, k = 1,2,dots

Exercícios relacionados