Uma caixa contém 3 dados cujos lados são os seguintes
  • 1,2,3,4,5,6
  • 2,3,4,5,6,7
  • 3,4,5,6,7,8
Se eu escolher 2 desses dados ao acaso para lançar, qual a probabilidade que os 2 dados lançados tenham o mesmo resultado?

Passo 1

Resumo do enunciado: há uma caixa com três dados cujos faces são
– Dado 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6
– Dado 2: 2, 3, 4, 5, 6, 7
– Dado 3: 3, 4, 5, 6, 7, 8
Escolhemos aleatoriamente dois desses dados e os lançamos. Queremos a probabilidade de que os dois resultados sejam iguais.
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema da Probabilidade Total.

Passo 2

Primeiro, há \binom{3}{2}=3 pares possíveis de dados, cada um escolhido com probabilidade
P(\text{par}) = \frac{1}{3}.

Passo 3

Para cada par, a probabilidade de obter o mesmo número é
P(\text{igual}\mid\text{par}) = \sum_{k\in I}\!P(\text{dado A}=k)\,P(\text{dado B}=k) =\frac{|I|}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{|I|}{36},
onde I é o conjunto de faces em comum nos dois dados.
  • Par D1–D2: I=\{2,3,4,5,6\}, logo P(\text{igual})=\tfrac{5}{36}.
  • Par D1–D3: I=\{3,4,5,6\}, logo P(\text{igual})=\tfrac{4}{36}.
  • Par D2–D3: I=\{3,4,5,6,7\}, logo P(\text{igual})=\tfrac{5}{36}.

Passo 4

Aplicando o Teorema da Probabilidade Total:
P(\text{igual}) = \sum_{\text{pares}}P(\text{par})\,P(\text{igual}\mid\text{par}) = \frac{1}{3}\Bigl(\tfrac{5}{36}+\tfrac{4}{36}+\tfrac{5}{36}\Bigr) = \frac{14}{108} = \frac{7}{54}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{54}

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