Uma caixa contém 3 moedas com caras nos dois lados, 2 moedas justas e 4 moedas com coroas nos dois lados. Se uma dessas moedas é escolhida aleatoriamente e lançada, qual a probabilidade que o resultado seja uma cara?

Passo 1

O enunciado diz que há uma caixa com três moedas com cara em ambos os lados, duas moedas justas e quatro moedas com coroa em ambos os lados. Escolhe-se uma moeda ao acaso e lança-se uma vez, e queremos a probabilidade de sair cara. O conteúdo aqui é a regra da probabilidade total (ou lei das probabilidades totais) para eventos condicionados.

Passo 2

Definimos os eventos:
C_1: escolhe-se uma moeda com duas caras.
C_2: escolhe-se uma moeda justa.
C_3: escolhe-se uma moeda com duas coroas.
H: sai cara no lançamento.
Como há 3 moedas do tipo C_1, 2 do tipo C_2 e 4 do tipo C_3, temos
P(C_1)=\frac{3}{9},\quad P(C_2)=\frac{2}{9},\quad P(C_3)=\frac{4}{9}.
E as probabilidades condicionais de sair cara são
P(H\mid C_1)=1,\quad P(H\mid C_2)=\tfrac12,\quad P(H\mid C_3)=0.

Passo 3

Pela regra da probabilidade total,
P(H) = P(C_1)\,P(H\mid C_1) \;+\; P(C_2)\,P(H\mid C_2) \;+\; P(C_3)\,P(H\mid C_3).
Substituindo os valores:
P(H) = \frac{3}{9}\cdot 1 \;+\; \frac{2}{9}\cdot \frac{1}{2} \;+\; \frac{4}{9}\cdot 0 = \frac{3}{9} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{9}

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