Uma caixa contém uma moeda não viciada e uma de duas caras. Uma moeda é selecionada aleatoriamente e lançada. Se ocorre cara, a outra moeda é lançada; se ocorre coroa a mesma moeda é lançada.
a) Encontre a probabilidade de ocorrer cara no segundo lançamento.
b) Se ocorreu cara no segundo lançamento, encontre a probabilidade de ter ocorrido também no primeiro.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma caixa com uma moeda justa (uma cara, uma coroa) e uma de duas caras. A gente escolhe aleatoriamente uma moeda, faz o primeiro lançamento, e se der cara lançamos a outra moeda; se der coroa lançamos a mesma moeda de novo. Queremos a) a probabilidade de dar cara no segundo lançamento e b) dado que deu cara no segundo, qual a probabilidade de também ter dado no primeiro. Para resolver, vamos usar a fórmula da probabilidade total e a definição de probabilidade condicional.

Passo 2

Vamos chamar de C_f o evento “escolher a moeda justa” e de C_2 o evento “escolher a moeda de duas caras”. Cada uma é escolhida com probabilidade tfrac12. Também definimos H₁ e H₂ como “ocorreu cara no primeiro” e “ocorreu cara no segundo”. Vamos montar todas as ramificações do experimento e suas probabilidades.

Passo 3

Para calcular P(H₂) (parte a), aplicamos a lei da probabilidade total sobre os eventos iniciais e resultados do primeiro lançamento. Em cada caso, calculamos a probabilidade conjunta de chegar ao segundo lançamento e dele sair cara. Assim temos
[
P(H₂)=P(C_f)\Bigl[P(H₁|C_f),P(H₂|C_f, H₁)+P(T₁|C_f),P(H₂|C_f, T₁)\Bigr]+P(C_2)\Bigl[P(H₁|C_2),P(H₂|C_2, H₁)\Bigr]
]
Agora preenchemos cada termo:
  • P(Cf)=tfrac12, P(H₁|Cf)=tfrac12, se der cara a moeda troca para C_2 no segundo (que é duas caras, então P(H₂|Cf,H₁)=1), e se der coroa (prob P(T₁|Cf)=tfrac12) continuamos com C_f (fair), então P(H₂|Cf,T₁)=tfrac12.
  • P(C2)=tfrac12, nessa moeda sempre sai cara no primeiro ( P(H₁|C2)=1), e caímos na outra moeda (fair) no segundo, logo P(H₂|C2,H₁)=tfrac12.

Passo 4

Substituindo e somando:
[
P(H₂)=\tfrac12\bigl[\tfrac12\cdot1+\tfrac12\cdot\tfrac12\bigr]+\tfrac12\bigl[1\cdot\tfrac12\bigr]
=\tfrac12\bigl[\tfrac12+\tfrac14\bigr]+\tfrac12\cdot\tfrac12
=\tfrac12\cdot\tfrac34+\tfrac14
=\tfrac38+\tfrac28
=\tfrac58.
]

Passo 5

Para a parte b, queremos P(H₁mid H₂). Pela definição de probabilidade condicional:
[
P(H₁\mid H₂)=\frac{P(H₁\cap H₂)}{P(H₂)}.
]
Já calculamos P(H₂)=5/8. Agora P(H₁cap H₂) é a soma das probabilidades das ramificações em que primeiro e segundo são cara:
  • Se escolheu C_f: tfrac12cdottfrac12cdot1=tfrac14.
  • Se escolheu C_2: tfrac12cdot1cdottfrac12=tfrac14.
    Somando dá tfrac14+tfrac14=tfrac12. Portanto:
    [
    P(H₁\mid H₂)=\frac{1/2}{5/8}=\frac{1/2}{5/8}=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{5}=\frac{4}{5}.
    ]

Resposta

a) 5/8 b) 4/5

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