João e Tiago acham uma velha moeda. Um exame detido revela que a moeda foi alterada, de modo que uma face é mais provável que a outra. João decide verificar, e lança a moeda 40 vezes, obtendo cara 24 vezes. Em seguida, Tiago lança a moeda 50 vezes, obtendo cara 28 vezes.
(a) Pode-se dizer que João ou Tiago tenha obtido uma verdadeira experiência de frequência relativa? Por quê?
(b) Se você tivesse que escolher um dois dois resultados, qual escolheria? Por quê?

Passo 1

O problema traz um experimento com uma moeda viciada: João lançou a moeda 40 vezes e obteve 24 caras; Tiago lançou 50 vezes e obteve 28 caras. O conteúdo aqui é frequência relativa, lei dos grandes números e noções de incerteza na estimativa de probabilidade.

Passo 2

Em teoria de probabilidade definimos a frequência relativa como hat p = X/n, onde X é o número de caras e n o total de lançamentos. A lei dos grandes números diz que, à medida que ntoinfty, a frequência relativa hat p converge para a probabilidade verdadeira p. Para avaliar a incerteza de hat p em amostras finitas usamos a aproximação da variância Var(hat p)approx p(1-p)/n e, na prática, substituímos p por hat p.

Passo 3

Nenhum dos dois experimentos pode ser considerado uma “verdadeira” experiência de frequência relativa, porque em um número finito de lançamentos sempre haverá flutuações em torno de p. Entretanto, o experimento de Tiago, com n=50, tende a dar uma estimativa mais estável do que o de João, com n=40, pois quanto maior n, menor é a variação esperada.

Passo 4

Vamos comparar a incerteza nos dois resultados. Para João temos
hat pJ = 2440 = 0.60,
e a estimativa do desvio padrão é
sJ = raiz0.60times(1-0.60)40 approx 0.0775

Passo 5

Para Tiago temos
hat pT = 2850 = 0.56,
e
sT = raiz0.56times(1-0.56)50 approx 0.0702

Passo 6

Como a incerteza de Tiago ( sT) é menor que a de João ( sJ), o resultado dele é mais preciso.

Resposta

Eu escolheria o resultado do Tiago, pois ele fez mais lançamentos e sua estimativa de frequência relativa tem menor incerteza.

Exercícios relacionados