Uma locadora de automóveis possui 10 carros para locação (6 nacionais e 4 estrangeiros). Um grupo de pessoas solicitou 4 carros para aluguel. Obtenha a chance de que:
a) recebam 3 carros nacionais;
b) recebam pelo menos 3 carros nacionais;
c) não recebam nenhum carro nacional.

Passo 1

O enunciado diz que temos 10 carros (6 nacionais e 4 estrangeiros) e vamos escolher aleatoriamente 4 deles. Queremos as probabilidades de certos números de carros nacionais nesse grupo. O conteúdo é probabilidade combinatória, mais precisamente a distribuição hipergeométrica, e vamos usar combinações para contar os casos possíveis.

Passo 2

Na distribuição hipergeométrica, se temos no total N itens, dos quais K são classificados como “sucesso” e N-K como “fracasso”, e extraímos n itens sem reposição, a probabilidade de obter exatamente k sucessos é dada por:
P(X = k) = C(K, k) cdot C(N - K, n - k)C(N, n)
Aqui temos N = 10, K = 6 (carros nacionais), n = 4, e vamos variar k.

Passo 3

Para (a), queremos exatamente 3 carros nacionais: substituindo k = 3 na fórmula:
P(X = 3) = C(6, 3) cdot C(4, 1)C(10, 4)
Calculando: C(6,3)=20, C(4,1)=4 e C(10,4)=210, então
P(X=3)=20cdot4210=80210=821approx0,3810

Passo 4

Para (b), queremos pelo menos 3 carros nacionais, isto é P(X>=3)=P(X=3)+P(X=4). Já temos P(X=3)=80/210. Agora para k=4:
P(X = 4)=C(6,4)cdot C(4,0)C(10,4)=15cdot1210=15210=114approx0,0714
Somando:
P(X>=3)=80210+15210=95210=1942approx0,4524

Passo 5

Para ©, queremos nenhum carro nacional, ou seja k=0:
P(X = 0)=C(6,0)cdot C(4,4)C(10,4)=1cdot1210=1210approx0,0048

Resposta

a) dfrac821approx0,3810
b) dfrac1942approx0,4524
c) dfrac1210approx0,0048

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