Se eu jogar 2 dados n vezes, qual o menor valor de n para o qual é mais provável que eu veja o resultado 12 (na soma dos 2 dados) pelo menos uma vez do que não ver esse resultado nenhuma vez?

Passo 1

O enunciado diz que lançamos dois dados n vezes e queremos o menor n tal que seja mais provável obter soma 12 pelo menos uma vez do que nunca obter essa soma. O conteúdo é probabilidade de eventos independentes e uso da complementação.

Passo 2

A probabilidade de obter soma 12 em um único lançamento é
p = \frac{1}{36},
logo a probabilidade de não obter soma 12 é
q = 1 - p = \frac{35}{36}.
Em n lançamentos independentes,
P(\text{nenhuma soma 12}) = q^n, \quad P(\text{pelo menos uma soma 12}) = 1 - q^n.

Passo 3

Queremos
1 - q^n > q^n
que é equivalente a
1 > 2\,q^n \quad\Longrightarrow\quad q^n < \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Tomando logaritmo natural, com \ln(q)<0, temos
n\,\ln(q) < \ln\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad n > \frac{\ln\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)}{\ln(q)}.

Passo 5

Substituindo q=\tfrac{35}{36}:
\ln(q)=\ln\!\Bigl(\tfrac{35}{36}\Bigr)\approx -0,02817, \quad \ln\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)\approx -0,69315,
logo
n > \frac{-0,69315}{-0,02817}\approx 24,6.

Passo 6

Como n deve ser inteiro, o menor valor inteiro maior que 24,6 é
n = 25.

Resposta

25

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