Uma caixa A contém 8 peças, das quais 3 são defeituosas e uma caixa B contém 5 peças, das quais 2 são defeituosas. Uma peça é retirada aleatoriamente de cada caixa:
Se uma peça é defeituosa e a outra não, qual é a probabilidade p de que a peça defeituosa venha da caixa A ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas caixas com peças, umas com defeito e outras sem. Da caixa A, tiramos 1 peça de 8, sendo 3 defeituosas. Da caixa B, tiramos 1 peça de 5, sendo 2 defeituosas. A pergunta é: se uma peça é defeituosa e a outra não, qual a probabilidade de que a defeituosa veio da caixa A? Vamos usar probabilidade condicional pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as probabilidades individuais:
  • Caixa A:
    • Probabilidade de tirar uma peça defeituosa: $ \frac{3}{8} $
    • Probabilidade de tirar uma peça não defeituosa: $ \frac{5}{8} $
  • Caixa B:
    • Probabilidade de tirar uma peça defeituosa: $ \frac{2}{5} $
    • Probabilidade de tirar uma peça não defeituosa: $ \frac{3}{5} $

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de uma peça defeituosa vir da caixa A dado que uma peça é defeituosa e a outra não. Isso pode acontecer de duas formas:
  1. Peça defeituosa da caixa A e peça não defeituosa da caixa B:
    • Probabilidade: $ \frac{3}{8} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{40} $
  2. Peça defeituosa da caixa B e peça não defeituosa da caixa A:
    • Probabilidade: $ \frac{2}{5} \times \frac{5}{8} = \frac{10}{40} $

Passo 4

A probabilidade total de ter exatamente uma peça defeituosa é a soma das duas situações:
940 + 1040 = 1940

Passo 5

Queremos a probabilidade de que a peça defeituosa seja da caixa A, dado que uma peça é defeituosa e a outra não. Isso é dado por:
p = Probabilidade da situação 1Probabilidade total = 9401940 = 919 çã

Resposta

A probabilidade $ p $ de que a peça defeituosa venha da caixa $ A $ é $ \frac{9}{19} $.

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