Seja
uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade:
Determine o valor da constante c;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória discreta $ X $ com uma função de probabilidade dada por:
Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante $ c $. Para isso, vamos precisar lembrar que a soma de todas as probabilidades de uma variável aleatória deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a regra fundamental das funções de probabilidade: a soma de todas as probabilidades possíveis deve ser igual a 1. Então, vamos somar $ P(X = x) $ para todos os valores de $ x $:
Substituindo a expressão de $ P(X = x) $:
Passo 3
Agora, vamos focar nessa soma infinita:
Perceba que temos uma série geométrica aqui, onde cada termo é uma razão constante $ r = \frac{1}{4} $.
Passo 4
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita com razão $ |r| < 1 $ é dada por:
Aplicando isso na nossa série:
Então, temos:
Resposta
Resolvendo para $ c $: