Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade:
P(X=x)=c4^x, x=0,1, ldots
Determine o valor da constante c;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória discreta $ X $ com uma função de probabilidade dada por:
X
Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante $ c $. Para isso, vamos precisar lembrar que a soma de todas as probabilidades de uma variável aleatória deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a regra fundamental das funções de probabilidade: a soma de todas as probabilidades possíveis deve ser igual a 1. Então, vamos somar $ P(X = x) $ para todos os valores de $ x $:
P(X = x)
Substituindo a expressão de $ P(X = x) $:
x

Passo 3

Agora, vamos focar nessa soma infinita:
sumx=0^infty c4^x = c sumx=0^infty (14)^x
Perceba que temos uma série geométrica aqui, onde cada termo é uma razão constante $ r = \frac{1}{4} $.

Passo 4

Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita com razão $ |r| < 1 $ é dada por:
|r| < 1
Aplicando isso na nossa série:
sumx=0^infty r^x = 11 - r
Então, temos:
c sumx=0^infty (14)^x = c cdot 11 - 14 = c cdot 43

Resposta

Resolvendo para $ c $:
c

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