Uma caixa contém três cartões verdes, quatro amarelos, cinco azuis e três vermelhos. Dois cartões são retirados da caixa, ao acaso, um após o outro, sem reposição. Anotam-se suas cores. Calcular a probabilidade de que:
a) os dois cartões sejam da mesma cor;
b) os dois cartões sejam verdes, sabendo-se que são da mesma cor.
a) os dois cartões sejam da mesma cor;
b) os dois cartões sejam verdes, sabendo-se que são da mesma cor.
Passo 1
Lista do que o enunciado dá e pede (peguei todos os números do enunciado):
- Há
cartões verdes, amarelos, azuis e vermelhos. - Total de cartões na caixa:
. - Retiram-se dois cartões, um após o outro, sem reposição. Anotam-se as cores (a ordem de retirada não importa para o evento “mesma cor”, apenas que as duas cores coincidam).
O enunciado pede:
(a) a probabilidade de que os dois cartões sejam da mesma cor;
(b) a probabilidade de que os dois cartões sejam verdes, sabendo-se que os dois são da mesma cor.
Passo 2
Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): vou aplicar a regra da probabilidade multiplicativa para retiradas sucessivas sem reposição. A ideia é: para qualquer cor
,
A probabilidade pedida em (a) será a soma dessas probabilidades para cada cor (pois os eventos “os dois são verdes”, “os dois são amarelos”, etc., são mutuamente exclusivos). Essa abordagem é direta e usa apenas contagem simples.
Passo 3
Calcular passo a passo
somando as contribuições de cada cor.
Para uma cor genérica com cartões, temos
Para uma cor genérica com
Produto:
Passo 4
Aplicar a fórmula para cada cor, usando os
dados no enunciado.
- Para verdes (
):
- Para amarelos (
):
- Para azuis (
):
- Para vermelhos (
, mesmo que os verdes):
Passo 5
Somar as probabilidades (eventos mutuamente exclusivos) para obter o item (a).
Somando:
Somando:
Colocando em denominador comum
:
Logo
Passo 6
Comentário rápido (método alternativo): poderia-se também usar combinatória: o número de maneiras de tirar 2 cartões entre
é
. O número de maneiras de tirar dois da mesma cor é
. Fazendo essa conta chega-se ao mesmo resultado
. Isso confirma o cálculo anterior.
Passo 7
Agora o item (b): queremos
.
Usamos a definição de probabilidade condicional:
Usamos a definição de probabilidade condicional:
Aqui
e
. Note que
, então
. Logo
Passo 8
Substituir os valores já calculados:
Fazendo a divisão:
Portanto a probabilidade pedida no item (b) é
.
Resposta
(a)
(b)
(b)