Uma caixa contém três cartões verdes, quatro amarelos, cinco azuis e três vermelhos. Dois cartões são retirados da caixa, ao acaso, um após o outro, sem reposição. Anotam-se suas cores. Calcular a probabilidade de que:
a) os dois cartões sejam da mesma cor;
b) os dois cartões sejam verdes, sabendo-se que são da mesma cor.

Passo 1

Lista do que o enunciado dá e pede (peguei todos os números do enunciado):
  • \,3 cartões verdes, \,4 amarelos, \,5 azuis e \,3 vermelhos.
  • Total de cartões na caixa: \,3+4+5+3=15.
  • Retiram-se dois cartões, um após o outro, sem reposição. Anotam-se as cores (a ordem de retirada não importa para o evento “mesma cor”, apenas que as duas cores coincidam).
    O enunciado pede:
    (a) a probabilidade de que os dois cartões sejam da mesma cor;
    (b) a probabilidade de que os dois cartões sejam verdes, sabendo-se que os dois são da mesma cor.

Passo 2

Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): vou aplicar a regra da probabilidade multiplicativa para retiradas sucessivas sem reposição. A ideia é: para qualquer cor C,
P(\text{primeiro é }C\\ \text{e segundo é }C)=P(\text{primeiro é }C)\cdot P(\text{segundo é }C\mid\text{primeiro é }C).ééééé
A probabilidade pedida em (a) será a soma dessas probabilidades para cada cor (pois os eventos “os dois são verdes”, “os dois são amarelos”, etc., são mutuamente exclusivos). Essa abordagem é direta e usa apenas contagem simples.

Passo 3

Calcular passo a passo P(\text{ambos da mesma cor}) somando as contribuições de cada cor.
Para uma cor genérica com n cartões, temos
P(\text{primeiro dessa cor})=\frac{n}{15}, \qquad P(\text{segundo dessa cor}\mid\text{primeiro dessa cor})=\frac{n-1}{14}.
Produto:
P(\text{ambos dessa cor})=\frac{n}{15}\cdot\frac{n-1}{14}.

Passo 4

Aplicar a fórmula para cada cor, usando os n dados no enunciado.
  • Para verdes ( n=3):
P(\text{2 verdes})=\frac{3}{15}\cdot\frac{2}{14}=\frac{6}{210}=\frac{1}{35}.
  • Para amarelos ( n=4):
P(\text{2 amarelos})=\frac{4}{15}\cdot\frac{3}{14}=\frac{12}{210}=\frac{2}{35}.
  • Para azuis ( n=5):
P(\text{2 azuis})=\frac{5}{15}\cdot\frac{4}{14}=\frac{20}{210}=\frac{2}{21}.
  • Para vermelhos ( n=3, mesmo que os verdes):
P(\text{2 vermelhos})=\frac{3}{15}\cdot\frac{2}{14}=\frac{1}{35}.

Passo 5

Somar as probabilidades (eventos mutuamente exclusivos) para obter o item (a).
Somando:
P(\text{mesma cor})=\frac{1}{35}+\frac{2}{35}+\frac{2}{21}+\frac{1}{35}.
Colocando em denominador comum \,105:
\frac{1}{35}=\frac{3}{105},\quad \frac{2}{35}=\frac{6}{105},\quad \frac{2}{21}=\frac{10}{105}.
Logo
P(\text{mesma cor})=\frac{3+6+10+3}{105}=\frac{22}{105}.

Passo 6

Comentário rápido (método alternativo): poderia-se também usar combinatória: o número de maneiras de tirar 2 cartões entre \,15 é \binom{15}{2}. O número de maneiras de tirar dois da mesma cor é \binom{3}{2}+\binom{4}{2}+\binom{5}{2}+\binom{3}{2}. Fazendo essa conta chega-se ao mesmo resultado \frac{22}{105}. Isso confirma o cálculo anterior.

Passo 7

Agora o item (b): queremos P(\text{ambos verdes}\mid \text{ambos mesma cor}).
Usamos a definição de probabilidade condicional:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Aqui A=\{\text{ambos verdes}\} e B=\{\text{ambos da mesma cor}\}. Note que A\subseteq B, então P(A\cap B)=P(A). Logo
P(\text{2 verdes}\mid \text{mesma cor})=\frac{P(\text{2 verdes})}{P(\text{mesma cor})}.

Passo 8

Substituir os valores já calculados:
P(\text{2 verdes})=\frac{1}{35},\qquad P(\text{mesma cor})=\frac{22}{105}.
Fazendo a divisão:
\frac{\tfrac{1}{35}}{\tfrac{22}{105}}=\frac{1}{35}\cdot\frac{105}{22}=\frac{3}{22}.
Portanto a probabilidade pedida no item (b) é \tfrac{3}{22}.

Resposta

(a) \dfrac{22}{105}
(b) \dfrac{3}{22}

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