Um sistema tem dois componentes que operam independentemente. Suponha que as probabilidades de falha dos componentes 1 e 2 sejam 0,1 e 0,2 , respectivamente. Determinar a probabilidade de o sistema funcionar nos dois casos seguintes:
os componentes são ligados em paralelo (isto é, basta um funcionar para que o sistema funcione).
os componentes são ligados em paralelo (isto é, basta um funcionar para que o sistema funcione).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (pegos do enunciado):
- Probabilidade de falha do componente 1:
. - Probabilidade de falha do componente 2:
. - Os componentes operam independentemente (ou seja, eventos de falha são independentes).
- Probabilidade de falha do componente 1:
-
Pergunta:
- Determinar a probabilidade de o sistema funcionar quando os componentes estão em paralelo (isto é, o sistema funciona se pelo menos um componente funcionar).
Passo 2
Explicar os conceitos básicos que vamos usar (bem mastigado).
-
Evento complementar: se
é o evento “falha”, então o evento “funcionar” é o complementar, que denotarei por . Para qualquer evento vale a regra do complementar: Aqui isso significa, por exemplo,. -
Independência: como os componentes são independentes, a probabilidade de ambos falharem é o produto das probabilidades de falha:Isso é consequência direta da definição de eventos independentes.
-
Evento “sistema em paralelo funciona”: isso é o evento “pelo menos um componente funciona”. Em termos de conjuntos, é o complementar do evento “ambos falham”. Assim é muito prático usar a regra do complementar:
Passo 3
Escrever a fórmula que vamos calcular usando as ideias do passo anterior.
Como explicado,
E, por independência,
Passo 4
Calcular a probabilidade de ambos falharem.
Usando os números dados:
Fazendo a multiplicação (mostrando passo a passo):
.
Passo 5
Calcular a probabilidade do sistema funcionar aplicando o complemento.
Isto é,
.
Passo 6
Verificação alternativa (útil para a prova): calcular via “pelo menos um funciona” usando soma e interseção.
- Primeiro calcule as probabilidades de funcionar de cada componente:
- Como são independentes,
. - Então
o mesmo resultado — ótima checagem.