Um sistema tem dois componentes que operam independentemente. Suponha que as probabilidades de falha dos componentes 1 e 2 sejam 0,1 e 0,2 , respectivamente. Determinar a probabilidade de o sistema funcionar nos dois casos seguintes:
os componentes são ligados em paralelo (isto é, basta um funcionar para que o sistema funcione).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Probabilidade de falha do componente 1: P(F_1)=0,1.
    • Probabilidade de falha do componente 2: P(F_2)=0,2.
    • Os componentes operam independentemente (ou seja, eventos de falha são independentes).
  • Pergunta:
    • Determinar a probabilidade de o sistema funcionar quando os componentes estão em paralelo (isto é, o sistema funciona se pelo menos um componente funcionar).

Passo 2

Explicar os conceitos básicos que vamos usar (bem mastigado).
  • Evento complementar: se F é o evento “falha”, então o evento “funcionar” é o complementar, que denotarei por S. Para qualquer evento vale a regra do complementar:
    P(S)=1-P(F).
    Aqui isso significa, por exemplo, P(S_1)=1-P(F_1).
  • Independência: como os componentes são independentes, a probabilidade de ambos falharem é o produto das probabilidades de falha:
    P(F_1\cap F_2)=P(F_1)\cdot P(F_2).
    Isso é consequência direta da definição de eventos independentes.
  • Evento “sistema em paralelo funciona”: isso é o evento “pelo menos um componente funciona”. Em termos de conjuntos, é o complementar do evento “ambos falham”. Assim é muito prático usar a regra do complementar:
    P(\text{sistema funciona})=1-P(\text{ambos falham}).

Passo 3

Escrever a fórmula que vamos calcular usando as ideias do passo anterior.
Como explicado,
P(\text{sistema funciona})=1-P(F_1\cap F_2).
E, por independência,
P(F_1\cap F_2)=P(F_1)\cdot P(F_2).

Passo 4

Calcular a probabilidade de ambos falharem.
Usando os números dados:
P(F_1\cap F_2)=P(F_1)\cdot P(F_2)=0,1\times 0,2.
Fazendo a multiplicação (mostrando passo a passo): 0,1\times 0,2 = 0,02.

Passo 5

Calcular a probabilidade do sistema funcionar aplicando o complemento.
P(\text{sistema funciona})=1-0,02=0,98.
Isto é, 98\%.

Passo 6

Verificação alternativa (útil para a prova): calcular via “pelo menos um funciona” usando soma e interseção.
  • Primeiro calcule as probabilidades de funcionar de cada componente: P(S_1)=1-P(F_1)=1-0,1=0,9, \qquad P(S_2)=1-P(F_2)=1-0,2=0,8.
  • Como são independentes, P(S_1\cap S_2)=0,9\times0,8=0,72.
  • Então P(\text{pelo menos um funciona})=P(S_1)+P(S_2)-P(S_1\cap S_2)=0,9+0,8-0,72=0,98,
o mesmo resultado — ótima checagem.

Resposta

0,98

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