Numa fábrica, a máquina 1 produz por dia o dobro de peças que a máquina 2 . Sabe- se que 9 \% das peças fabricadas pela máquina 1 são defeituosas, enquanto 12 \% de defeituosas são produzidas pela máquina 2. A produção diária das máquinas é misturada. Pergunta-se:
a) qual a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa?
Extraída uma amostra aleatória de 5 peças, pergunta-se:
b) qual a probabilidade de que essa amostra contenha ao menos 2 peças defeituosas?
c) qual o número esperado de peças defeituosas, sabendo-se que a amostra contém ao menos 2 peças defeituosas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informações:
    • A máquina 1 produz por dia o dobro das peças que a máquina 2.
    • A taxa de defeito da máquina 1 é 9\%.
    • A taxa de defeito da máquina 2 é 12\%.
    • As produções das duas máquinas são misturadas e, a partir dessa mistura, escolhe-se peças ao acaso.
    • Foi extraída uma amostra aleatória de 5 peças.
  • Perguntas:
    • (a) Qual a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa?
    • (b) Na amostra de 5 peças, qual a probabilidade de haver ao menos 2 peças defeituosas?
    • (c) Sabendo que a amostra contém ao menos 2 peças defeituosas, qual o número esperado de peças defeituosas na amostra?

Passo 2

Vamos achar primeiro a probabilidade de uma peça, retirada ao acaso da produção mista, ser defeituosa. Para isso usamos a regra da probabilidade total (mistura ponderada pelas frações de produção).
Explicando a regra (aula rápida): se existem duas fontes A e B com probabilidades de escolher uma peça delas P(A) e P(B) e probabilidades de defeito condicionais P(D\mid A) e P(D\mid B), então
P(D)=P(A)\,P(D\mid A)+P(B)\,P(D\mid B).
Aqui D é o evento “peça defeituosa”.
Agora as frações de produção: se a máquina 2 produz uma quantidade x, a máquina 1 produz 2x. O total é 3x. Assim as frações são
P(\text{máq1})=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3},\qquad P(\text{máq2})=\frac{1}{3}.áá
As taxas de defeito são P(D\mid\text{máq1})=9\%=0,09á e P(D\mid\text{máq2})=12\%=0,12á.
Aplicando a fórmula da probabilidade total:
P(D)=\frac{2}{3}\cdot 0,09+\frac{1}{3}\cdot 0,12.
Calculando:
\frac{2}{3}\cdot 0,09=0,06,\qquad \frac{1}{3}\cdot 0,12=0,04,
logo
P(D)=0,06+0,04=0,10.
Interpretação: a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa é \,0,10 (ou 10\%).

Passo 3

Para as partes (b) e (c) modelamos o número de peças defeituosas na amostra de 5 como uma variável aleatória binomial X com parâmetros n=5 e p=0,10:
X\sim\mathrm{Bin}(n=5,p=0,10).
Explicando a binomial (mini-aula): a binomial dá a probabilidade de haver exatamente k sucessos (aqui: peças defeituosas) em n tentativas independentes, cada uma com probabilidade p de sucesso. A massa de probabilidade é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} é o combinatório “n escolhe k”.
Primeiro calculamos as probabilidades necessárias para “ao menos 2”. É mais prático usar a complementar:
P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1).
Calcule P(X=0) e P(X=1):
P(X=0)= (1-p)^{5}=0,9^{5}.
Vamos calcular 0,9^{5}: 0,9^{2}=0,81, 0,9^{3}=0,729, 0,9^{4}=0,6561, 0,9^{5}=0,59049. Então
P(X=0)=0,59049.
Agora
P(X=1)=\binom{5}{1} p (1-p)^{4}=5\cdot 0,1\cdot 0,9^{4}.
Já temos 0,9^{4}=0,6561, então
P(X=1)=5\cdot 0,1\cdot 0,6561=0,32805.
Somando:
P(X=0)+P(X=1)=0,59049+0,32805=0,91854.
Logo
P(X\ge2)=1-0,91854=0,08146.
Interpretação: a probabilidade de que, numa amostra de 5, haja pelo menos 2 peças defeituosas é aproximadamente 0,08146 (ou 8,146\%).

Passo 4

Agora a parte (c): queremos o número esperado de peças defeituosas condicionado a que haja ao menos 2 defeituosas, isto é E[X\mid X\ge2].
Definição e método: por definição de expectativa condicional discreta,
E[X\mid X\ge2]=\frac{\sum_{k=2}^{5} k\,P(X=k)}{P(X\ge2)}.
Já temos o denominador P(X\ge2)=0,08146. Precisamos do numerador: calcular kP(X=k) para k=2,3,4,5.
Calculamos as probabilidades individuais (usando p=0,1 e 1-p=0,9):
  • Para k=2:
P(X=2)=\binom{5}{2}0,1^{2}0,9^{3}=10\cdot 0,01\cdot 0,729=0,0729.
  • Para k=3:
P(X=3)=\binom{5}{3}0,1^{3}0,9^{2}=10\cdot 0,001\cdot 0,81=0,0081.
  • Para k=4:
P(X=4)=\binom{5}{4}0,1^{4}0,9^{1}=5\cdot 0,0001\cdot 0,9=0,00045.
  • Para k=5:
P(X=5)=\binom{5}{5}0,1^{5}0,9^{0}=1\cdot 0,00001\cdot 1=0,00001.
Agora multiplicamos por k e somamos:
\sum_{k=2}^{5} k\,P(X=k)=2\cdot 0,0729+3\cdot 0,0081+4\cdot 0,00045+5\cdot 0,00001.
Calculando passo a passo:
2\cdot 0,0729=0,1458,
3\cdot 0,0081=0,0243,
4\cdot 0,00045=0,0018,
5\cdot 0,00001=0,00005.
Somando:
0,1458+0,0243+0,0018+0,00005=0,17195.
Finalmente
E[X\mid X\ge2]=\frac{0,17195}{0,08146}\approx 2,111.
Interpretação: sabendo que a amostra tem pelo menos duas peças defeituosas, o número esperado de defeituosas nessa amostra é aproximadamente 2,111. Isso faz sentido: a condição força valores maiores ou iguais a 2, então a média condicional fica acima de 2.

Resposta

a) \;0,10 (ou 10\%)
b) \;0,08146 (aprox.)
c) \;2,111 (aprox.)

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