Numa fábrica, a máquina 1 produz por dia o dobro de peças que a máquina 2 . Sabe- se que
das peças fabricadas pela máquina 1 são defeituosas, enquanto
de defeituosas são produzidas pela máquina 2. A produção diária das máquinas é misturada. Pergunta-se:
a) qual a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa?
Extraída uma amostra aleatória de 5 peças, pergunta-se:
b) qual a probabilidade de que essa amostra contenha ao menos 2 peças defeituosas?
c) qual o número esperado de peças defeituosas, sabendo-se que a amostra contém ao menos 2 peças defeituosas?
a) qual a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa?
b) qual a probabilidade de que essa amostra contenha ao menos 2 peças defeituosas?
c) qual o número esperado de peças defeituosas, sabendo-se que a amostra contém ao menos 2 peças defeituosas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
-
Informações:
- A máquina 1 produz por dia o dobro das peças que a máquina 2.
- A taxa de defeito da máquina 1 é
. - A taxa de defeito da máquina 2 é
. - As produções das duas máquinas são misturadas e, a partir dessa mistura, escolhe-se peças ao acaso.
- Foi extraída uma amostra aleatória de
peças.
-
Perguntas:
- (a) Qual a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa?
- (b) Na amostra de
peças, qual a probabilidade de haver ao menos peças defeituosas? - (c) Sabendo que a amostra contém ao menos
peças defeituosas, qual o número esperado de peças defeituosas na amostra?
Passo 2
Vamos achar primeiro a probabilidade de uma peça, retirada ao acaso da produção mista, ser defeituosa. Para isso usamos a regra da probabilidade total (mistura ponderada pelas frações de produção).
Explicando a regra (aula rápida): se existem duas fontes A e B com probabilidades de escolher uma peça delas
e
e probabilidades de defeito condicionais
e
, então
Aqui
é o evento “peça defeituosa”.
Agora as frações de produção: se a máquina 2 produz uma quantidade
, a máquina 1 produz
. O total é
. Assim as frações são
As taxas de defeito são
e
.
Aplicando a fórmula da probabilidade total:
Calculando:
logo
Interpretação: a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa é
(ou
).
Passo 3
Para as partes (b) e (c) modelamos o número de peças defeituosas na amostra de
como uma variável aleatória binomial
com parâmetros
e
:
Explicando a binomial (mini-aula): a binomial dá a probabilidade de haver exatamente
sucessos (aqui: peças defeituosas) em
tentativas independentes, cada uma com probabilidade
de sucesso. A massa de probabilidade é
onde
é o combinatório “n escolhe k”.
Primeiro calculamos as probabilidades necessárias para “ao menos 2”. É mais prático usar a complementar:
Calcule
e
:
Vamos calcular
:
,
,
,
. Então
Agora
Já temos
, então
Somando:
Logo
Interpretação: a probabilidade de que, numa amostra de
, haja pelo menos
peças defeituosas é aproximadamente
(ou
).
Passo 4
Agora a parte (c): queremos o número esperado de peças defeituosas condicionado a que haja ao menos
defeituosas, isto é
.
Definição e método: por definição de expectativa condicional discreta,
Já temos o denominador
. Precisamos do numerador: calcular
para
.
Calculamos as probabilidades individuais (usando
e
):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Agora multiplicamos por
e somamos:
Calculando passo a passo:
Somando:
Finalmente
Interpretação: sabendo que a amostra tem pelo menos duas peças defeituosas, o número esperado de defeituosas nessa amostra é aproximadamente
. Isso faz sentido: a condição força valores maiores ou iguais a
, então a média condicional fica acima de
.
Resposta
a)
(ou
)
b) (aprox.)
c) (aprox.)
b)
c)