Exemplo 4.7 Os dados, a seguir, representam o sumário de um dia de observação em um posto de qualidade, em que se avalia o peso dos pacotes de leite produzidos num laticínio.
Condição do peso Tipo do leite
B (B) C (C) UHT ( \boldsymbol{U} ) Total
Dentro das especificações ( D ) 500 4.500 1.500 6.500
Fora das especificações ( F ) 30 270 50 350
Total 530 4.770 1.550 6.850
Retira-se, ao acaso, um pacote de leite da população de 6.850 unidades. Sejam D e F os eventos que representam se o pacote retirado está dentro ou fora das especificações, respectivamente. Da mesma forma, B, C e U são eventos que representam o tipo do leite. Pergunta-se:
a) Qual é a probabilidade de o pacote de leite estar fora das especificacões?
b) Qual a probabilidade de o pacote de leite retirado estar fora das especificações, sabendo-se que é do tipo UHT?
Com respeito ao Exemplo 4.7, calcule:
P(D) ; \quad P(B) ; \quad P(D \cap B) ; \quad P(D \mid B) ; \quad P(B \mid D) .

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • A população total é de 6{,}850 pacotes.
  • Tabela de contagens (peguei estes números do enunciado):
    • Dentro das especificações ( D): 500 do tipo B, 4{,}500 do tipo C, 1{,}500 do tipo U. Total de D é 6{,}500.
    • Fora das especificações ( F): 30 do tipo B, 270 do tipo C, 50 do tipo U. Total de F é 350.
    • Total por tipo: B tem 530, C tem 4{,}770, U tem 1{,}550. Total geral 6{,}850.
  • Os eventos são: D (dentro), F (fora), B,C,U (tipos).
  • O que é pedido (última linha do enunciado): calcular
    • P(D);
    • P(B);
    • P(D\cap B);
    • P(D\mid B);
    • P(B\mid D).

Passo 2

Fórmula básica que vamos usar (quando todos os pacotes são igualmente prováveis): a probabilidade de um evento E é
P(E)=\frac{\text{número de casos favoráveis a }E}{\text{número total de casos}}.úáú
Aqui o número total de casos é 6{,}850. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular P(D), a probabilidade de o pacote estar dentro das especificações.
  • Número de pacotes dentro: 6{,}500.
P(D)=\frac{6{,}500}{6{,}850}.
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 50):
P(D)=\frac{130}{137}\approx 0{,}9496.

Passo 4

Calcular P(B), a probabilidade de o pacote ser do tipo B.
  • Número de pacotes do tipo B: 530.
P(B)=\frac{530}{6{,}850}.
Simplificando (dividindo por 10):
P(B)=\frac{53}{685}\approx 0{,}07737.

Passo 5

Calcular P(D\cap B), a probabilidade de o pacote ser ao mesmo tempo D e B (ou seja, tipo B e dentro das especificações).
  • Número de pacotes com D\cap B: 500.
P(D\cap B)=\frac{500}{6{,}850}.
Simplificando (dividindo por 50):
P(D\cap B)=\frac{10}{137}\approx 0{,}07299.

Passo 6

Explicar e calcular P(D\mid B). Fórmula de probabilidade condicional:
P(D\mid B)=\frac{P(D\cap B)}{P(B)}.
Mas, na prática com contagens, isso equivale a “entre os B quantos estão em D”:
P(D\mid B)=\frac{\text{nº em }D\cap B}{\text{nº em }B}=\frac{500}{530}.ºº
Simplificando:
P(D\mid B)=\frac{50}{53}\approx 0{,}94340.
(Verificação rápida: \dfrac{500/6{,}850}{530/6{,}850}=500/530, mesma coisa.)

Passo 7

Calcular P(B\mid D). Usando a fórmula condicional:
P(B\mid D)=\frac{P(D\cap B)}{P(D)}.
Com contagens, “entre os D quantos são B”:
P(B\mid D)=\frac{500}{6{,}500}.
Simplificando:
P(B\mid D)=\frac{1}{13}\approx 0{,}076923.

Resposta

P(D)=\dfrac{130}{137}\approx 0{,}9496
P(B)=\dfrac{53}{685}\approx 0{,}07737
P(D\cap B)=\dfrac{10}{137}\approx 0{,}07299
P(D\mid B)=\dfrac{50}{53}\approx 0{,}94340
P(B\mid D)=\dfrac{1}{13}\approx 0{,}076923

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