Exemplo 4.7 Os dados, a seguir, representam o sumário de um dia de observação em um posto de qualidade, em que se avalia o peso dos pacotes de leite produzidos num laticínio.
Condição do peso
Tipo do leite
B (B)
C (C)
UHT (
)
Total
Dentro das especificações (
)
500
4.500
1.500
6.500
Fora das especificações (
)
30
270
50
350
Total
530
4.770
1.550
6.850
Retira-se, ao acaso, um pacote de leite da população de 6.850 unidades. Sejam
e
os eventos que representam se o pacote retirado está dentro ou fora das especificações, respectivamente. Da mesma forma,
e
são eventos que representam o tipo do leite. Pergunta-se:
a) Qual é a probabilidade de o pacote de leite estar fora das especificacões?
b) Qual a probabilidade de o pacote de leite retirado estar fora das especificações, sabendo-se que é do tipo UHT?
Com respeito ao Exemplo 4.7, calcule:
| Condição do peso | Tipo do leite | |||
| B (B) | C (C) | UHT (
|
Total | |
| Dentro das especificações (
|
500 | 4.500 | 1.500 | 6.500 |
| Fora das especificações (
|
30 | 270 | 50 | 350 |
| Total | 530 | 4.770 | 1.550 | 6.850 |
a) Qual é a probabilidade de o pacote de leite estar fora das especificacões?
b) Qual a probabilidade de o pacote de leite retirado estar fora das especificações, sabendo-se que é do tipo UHT?
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- A população total é de
pacotes. - Tabela de contagens (peguei estes números do enunciado):
- Dentro das especificações (
): do tipo , do tipo , do tipo . Total de é . - Fora das especificações (
): do tipo , do tipo , do tipo . Total de é . - Total por tipo:
tem , tem , tem . Total geral .
- Dentro das especificações (
- Os eventos são:
(dentro), (fora), (tipos). - O que é pedido (última linha do enunciado): calcular
-
; -
; -
; -
; -
.
-
Passo 2
Fórmula básica que vamos usar (quando todos os pacotes são igualmente prováveis): a probabilidade de um evento
é
Aqui o número total de casos é
. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Calcular
, a probabilidade de o pacote estar dentro das especificações.
- Número de pacotes dentro:
.
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por
):
Passo 4
Calcular
, a probabilidade de o pacote ser do tipo
.
- Número de pacotes do tipo
: .
Simplificando (dividindo por
):
Passo 5
Calcular
, a probabilidade de o pacote ser ao mesmo tempo
e
(ou seja, tipo
e dentro das especificações).
- Número de pacotes com
: .
Simplificando (dividindo por
):
Passo 6
Explicar e calcular
. Fórmula de probabilidade condicional:
Mas, na prática com contagens, isso equivale a “entre os
quantos estão em
”:
Simplificando:
(Verificação rápida:
, mesma coisa.)
Passo 7
Calcular
. Usando a fórmula condicional:
Com contagens, “entre os
quantos são
”:
Simplificando: