Uma caixa contendo 12 bolas, das quais 5 são vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Suponha que sejam retiradas 5 bolas ao acaso e com reposição. Qual a probabilidade de que sejam retiradas 2 bolas vermelhas, 2 brancas e 1 azul.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma caixa com 12 bolas: 5 vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. O exercício pede para calcular a probabilidade de, ao retirar 5 bolas ao acaso com reposição, obter exatamente 2 vermelhas, 2 brancas e 1 azul. Vamos usar conceitos de probabilidade multinomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como a retirada é com reposição, a probabilidade de cada cor não muda a cada retirada. Então, vamos calcular as probabilidades individuais:
  • Probabilidade de tirar uma bola vermelha: $ P(V) = \frac{5}{12} $
  • Probabilidade de tirar uma bola branca: $ P(B) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $
  • Probabilidade de tirar uma bola azul: $ P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $

Passo 3

Agora, queremos que em 5 retiradas sejam exatamente 2 vermelhas, 2 brancas e 1 azul. Como a ordem das retiradas importa, vamos calcular o número de maneiras diferentes de organizar essas cores. Isso é dado pela fórmula das combinações multinomiais:
C = 5!2! times 2! times 1! = 1204 times 1 = 30
Então, há 30 maneiras diferentes de alcançar essa combinação de cores.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas sequências acontecer. Multiplicamos as probabilidades das cores de acordo com a quantidade que queremos:
P = C times ( 512 )^2 times ( 412 )^2 times ( 312 )^1
Substituindo os valores:
P = 30 times ( 25144 ) times ( 16144 ) times ( 312 )

Passo 5

Agora, vamos multiplicar os termos:
P = 30 times 25 times 16 times 3144 times 144 times 12 = 30 times 1200248832 = 36000248832
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 48:
36000248832 = 7505184
E simplificando mais dividindo por 6:
7505184 = 125864 approx 0,1443

Resposta

A probabilidade de retirar exatamente 2 bolas vermelhas, 2 brancas e 1 azul em 5 retiradas com reposição é de aproximadamente 14,43%.

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