Uma caixa contendo 12 bolas, das quais 5 são vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Suponha que sejam retiradas 5 bolas ao acaso e com reposição. Qual a probabilidade de que sejam retiradas 2 bolas vermelhas, 2 brancas e 1 azul.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma caixa com 12 bolas: 5 vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. O exercício pede para calcular a probabilidade de, ao retirar 5 bolas ao acaso com reposição, obter exatamente 2 vermelhas, 2 brancas e 1 azul. Vamos usar conceitos de probabilidade multinomial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, como a retirada é com reposição, a probabilidade de cada cor não muda a cada retirada. Então, vamos calcular as probabilidades individuais:
- Probabilidade de tirar uma bola vermelha: $ P(V) = \frac{5}{12} $
- Probabilidade de tirar uma bola branca: $ P(B) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $
- Probabilidade de tirar uma bola azul: $ P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $
Passo 3
Agora, queremos que em 5 retiradas sejam exatamente 2 vermelhas, 2 brancas e 1 azul. Como a ordem das retiradas importa, vamos calcular o número de maneiras diferentes de organizar essas cores. Isso é dado pela fórmula das combinações multinomiais:
Então, há 30 maneiras diferentes de alcançar essa combinação de cores.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas sequências acontecer. Multiplicamos as probabilidades das cores de acordo com a quantidade que queremos:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar os termos:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 48:
E simplificando mais dividindo por 6:
Resposta
A probabilidade de retirar exatamente 2 bolas vermelhas, 2 brancas e 1 azul em 5 retiradas com reposição é de aproximadamente 14,43%.