Da produção diária de peças de uma determinada máquina,
são defeituosas. Retiram-se 5 peças da produção dessa máquina num determinado dia. Qual a probabilidade de que:
a) No máximo duas sejam boas?
b) Pelo menos quatro sejam boas?
c) Exatamente três sejam boas?
d) Pelo menos uma seja defeituosa?
a) No máximo duas sejam boas?
b) Pelo menos quatro sejam boas?
c) Exatamente três sejam boas?
d) Pelo menos uma seja defeituosa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a produção de peças por uma máquina onde 10% são defeituosas. Tiramos 5 peças desse dia. A matéria que vamos usar aqui é probabilidade, especificamente a distribuição binomial, que é ótima para calcular a chance de eventos com dois resultados possíveis (como boa ou defeituosa). Precisamos saber a fórmula da distribuição binomial e entender como aplicá-la para cada situação que o exercício pede.
Passo 2
a) No máximo duas sejam boas
Primeiro, “no máximo duas sejam boas” significa que podem ser 0, 1 ou 2 peças boas. Vamos calcular a probabilidade de cada caso e somar.
A fórmula da distribuição binomial é:
onde:
- $ n = 5 $ (número total de peças)
- $ p = 0.9 $ (probabilidade de uma peça ser boa)
- $ k $ é o número de peças boas que queremos
Então, vamos calcular para $ k = 0, 1, 2 $ e somar.
Passo 3
b) Pelo menos quatro sejam boas
“Pelo menos quatro sejam boas” significa que podem ser 4 ou 5 peças boas. Vamos calcular a probabilidade de cada um e somar.
Usamos a mesma fórmula da distribuição binomial com $ k = 4 $ e $ k = 5 $.
Passo 4
c) Exatamente três sejam boas
Aqui, queremos exatamente 3 peças boas. Aplicamos a fórmula da distribuição binomial para $ k = 3 $.
Passo 5
d) Pelo menos uma seja defeituosa
“Pelo menos uma defeituosa” é o complementar de todas as peças serem boas. Ou seja, podemos calcular 1 menos a probabilidade de todas as 5 peças serem boas.
Resposta
a) A probabilidade de no máximo duas peças serem boas é aproximadamente 0,0000081 ou 0,00081%.
b) A probabilidade de pelo menos quatro peças serem boas é aproximadamente 0,91854 ou 91,85%.
c) A probabilidade de exatamente três peças serem boas é aproximadamente 0,08145 ou 8,145%.
d) A probabilidade de pelo menos uma peça ser defeituosa é aproximadamente 0,999999 ou 99,9999%.