Da produção diária de peças de uma determinada máquina, 10 % são defeituosas. Retiram-se 5 peças da produção dessa máquina num determinado dia. Qual a probabilidade de que:
a) No máximo duas sejam boas?
b) Pelo menos quatro sejam boas?
c) Exatamente três sejam boas?
d) Pelo menos uma seja defeituosa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a produção de peças por uma máquina onde 10% são defeituosas. Tiramos 5 peças desse dia. A matéria que vamos usar aqui é probabilidade, especificamente a distribuição binomial, que é ótima para calcular a chance de eventos com dois resultados possíveis (como boa ou defeituosa). Precisamos saber a fórmula da distribuição binomial e entender como aplicá-la para cada situação que o exercício pede.

Passo 2

a) No máximo duas sejam boas
Primeiro, “no máximo duas sejam boas” significa que podem ser 0, 1 ou 2 peças boas. Vamos calcular a probabilidade de cada caso e somar.
A fórmula da distribuição binomial é:
P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
onde:
- $ n = 5 $ (número total de peças)
- $ p = 0.9 $ (probabilidade de uma peça ser boa)
- $ k $ é o número de peças boas que queremos
Então, vamos calcular para $ k = 0, 1, 2 $ e somar.

Passo 3

b) Pelo menos quatro sejam boas
“Pelo menos quatro sejam boas” significa que podem ser 4 ou 5 peças boas. Vamos calcular a probabilidade de cada um e somar.
Usamos a mesma fórmula da distribuição binomial com $ k = 4 $ e $ k = 5 $.

Passo 4

c) Exatamente três sejam boas
Aqui, queremos exatamente 3 peças boas. Aplicamos a fórmula da distribuição binomial para $ k = 3 $.

Passo 5

d) Pelo menos uma seja defeituosa
“Pelo menos uma defeituosa” é o complementar de todas as peças serem boas. Ou seja, podemos calcular 1 menos a probabilidade de todas as 5 peças serem boas.

Resposta

a) A probabilidade de no máximo duas peças serem boas é aproximadamente 0,0000081 ou 0,00081%.
b) A probabilidade de pelo menos quatro peças serem boas é aproximadamente 0,91854 ou 91,85%.
c) A probabilidade de exatamente três peças serem boas é aproximadamente 0,08145 ou 8,145%.
d) A probabilidade de pelo menos uma peça ser defeituosa é aproximadamente 0,999999 ou 99,9999%.

Exercícios relacionados