Uma linha de produção está sendo analisada para efeito de controle da qualidade das peças produzidas. Tendo em vista o alto padrão requerido, a produção é interrompida para regulagem toda vez que uma peça defeituosa é observada. Se 0,01 é a probabilidade da peça ser defeituosa, determine a probabilidade de ocorrer uma peça defeituosa na
peça produzida, na
, na
, na
, na
e na
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui! Temos uma linha de produção que precisa manter um alto padrão de qualidade. Sempre que uma peça defeituosa aparece, a produção para pra fazer ajustes. A probabilidade de uma peça ser defeituosa é de 0,01 (ou 1%). Nosso objetivo é descobrir a chance de que a primeira peça defeituosa apareça na 1ª, 2ª, 5ª, 10ª, 20ª e 40ª peça produzida.
Vamos precisar usar conceitos de Distribuição Geométrica, que nos ajuda a calcular a probabilidade de que o primeiro “sucesso” (nesse caso, uma peça defeituosa) ocorra exatamente na k-ésima tentativa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distribuição geométrica. A probabilidade de que o primeiro defeito ocorra exatamente na k-ésima peça é dada por:
Onde:
- $ p $ é a probabilidade de sucesso (pena, defeito) em uma única tentativa.
- $ (1 - p)^{k-1} $ representa a probabilidade de que as primeiras $ k-1 $ peças sejam não defeituosas.
- $ P(k) $ é a probabilidade de que a primeira peça defeituosa seja a k-ésima.
Passo 3
No nosso caso, a probabilidade de uma peça ser defeituosa é $ p = 0,01 $. Portanto, a probabilidade de uma peça não ser defeituosa é $ 1 - p = 0,99 $.
Vamos aplicar esses valores na fórmula para cada uma das posições solicitadas: 1ª, 2ª, 5ª, 10ª, 20ª e 40ª peça.
Passo 4
Vamos calcular passo a passo:
-
1ª peça ($ k = 1 $):
-
2ª peça ($ k = 2 $):
-
5ª peça ($ k = 5 $):
Primeiro, calculamos $ 0,99^{4} $:
Então: -
10ª peça ($ k = 10 $):
Calculando $ 0,99^{9} $:
Então: -
20ª peça ($ k = 20 $):
Calculando $ 0,99^{19} $:
Então: -
40ª peça ($ k = 40 $):
Calculando $ 0,99^{39} $:
(aproximadamente) Então:
Resposta
As probabilidades de ocorrer uma peça defeituosa nas posições solicitadas são aproximadamente:
- 1ª peça: 0,01 (1%)
- 2ª peça: 0,0099 (0,99%)
- 5ª peça: 0,0096 (0,96%)
- 10ª peça: 0,0091 (0,91%)
- 20ª peça: 0,0082 (0,82%)
- 40ª peça: 0,0067 (0,67%)