Uma linha de produção está sendo analisada para efeito de controle da qualidade das peças produzidas. Tendo em vista o alto padrão requerido, a produção é interrompida para regulagem toda vez que uma peça defeituosa é observada. Se 0,01 é a probabilidade da peça ser defeituosa, determine a probabilidade de ocorrer uma peça defeituosa na 1^a peça produzida, na 2^a, na 5^a, na 10^a, na 20^a e na 40^a.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui! Temos uma linha de produção que precisa manter um alto padrão de qualidade. Sempre que uma peça defeituosa aparece, a produção para pra fazer ajustes. A probabilidade de uma peça ser defeituosa é de 0,01 (ou 1%). Nosso objetivo é descobrir a chance de que a primeira peça defeituosa apareça na 1ª, 2ª, 5ª, 10ª, 20ª e 40ª peça produzida.
Vamos precisar usar conceitos de Distribuição Geométrica, que nos ajuda a calcular a probabilidade de que o primeiro “sucesso” (nesse caso, uma peça defeituosa) ocorra exatamente na k-ésima tentativa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distribuição geométrica. A probabilidade de que o primeiro defeito ocorra exatamente na k-ésima peça é dada por:
P(k) = (1 - p)^k-1 times p
Onde:
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso (pena, defeito) em uma única tentativa.
  • $ (1 - p)^{k-1} $ representa a probabilidade de que as primeiras $ k-1 $ peças sejam não defeituosas.
  • $ P(k) $ é a probabilidade de que a primeira peça defeituosa seja a k-ésima.

Passo 3

No nosso caso, a probabilidade de uma peça ser defeituosa é $ p = 0,01 $. Portanto, a probabilidade de uma peça não ser defeituosa é $ 1 - p = 0,99 $.
Vamos aplicar esses valores na fórmula para cada uma das posições solicitadas: 1ª, 2ª, 5ª, 10ª, 20ª e 40ª peça.

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
  1. 1ª peça ($ k = 1 $):
    k = 1
  2. 2ª peça ($ k = 2 $):
    P(1) = (0,99)^0 times 0,01 = 1 times 0,01 = 0,01
  3. 5ª peça ($ k = 5 $):
    k = 2
    Primeiro, calculamos $ 0,99^{4} $:
    P(2) = (0,99)^1 times 0,01 = 0,99 times 0,01 = 0,0099
    Então:
    k = 5
  4. 10ª peça ($ k = 10 $):
    P(5) = (0,99)^4 times 0,01
    Calculando $ 0,99^{9} $:
    0,99^4
    Então:
    0,99^4 approx 0,96059601
  5. 20ª peça ($ k = 20 $):
    P(5) approx 0,96059601 times 0,01 = 0,0096059601
    Calculando $ 0,99^{19} $:
    k = 10
    Então:
    P(10) = (0,99)^9 times 0,01
  6. 40ª peça ($ k = 40 $):
    0,99^9
    Calculando $ 0,99^{39} $:
    0,99^9 approx 0,9135172475 (aproximadamente)
    Então:
    P(10) approx 0,9135172475 times 0,01 = 0,009135172475

Resposta

As probabilidades de ocorrer uma peça defeituosa nas posições solicitadas são aproximadamente:
  • 1ª peça: 0,01 (1%)
  • 2ª peça: 0,0099 (0,99%)
  • 5ª peça: 0,0096 (0,96%)
  • 10ª peça: 0,0091 (0,91%)
  • 20ª peça: 0,0082 (0,82%)
  • 40ª peça: 0,0067 (0,67%)

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