Uma urna contém 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 2 bolas da urna. Seja X: número de bolas brancas. Determinar a distribuição de probabilidade de X.
a) Considerando sorteios com reposição.
b) Considerando sorteios sem reposição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma urna com 4 bolas brancas e 3 pretas, totalizando 7 bolas. Queremos retirar 2 bolas dessa urna e descobrir qual a probabilidade de tirar 0, 1 ou 2 bolas brancas. Isso envolve conceitos de probabilidade, como eventos e distribuição de probabilidade. Para resolver isso, vamos considerar duas situações: a) com reposição (ou seja, depois de tirar uma bola, você coloca ela de volta antes de tirar a próxima) e b) sem reposição (não coloca a bola de volta).

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no caso com reposição. Isso significa que cada vez que tiramos uma bola, a composição da urna não muda porque a bola é colocada de volta.

Passo 3

A probabilidade de tirar uma bola branca na primeira tentativa é o número de bolas brancas dividido pelo total de bolas:
P(Branca) = 47

Passo 4

Do mesmo jeito, a probabilidade de tirar uma bola preta é:
P(Preta) = 37

Passo 5

Ao tirar duas bolas com reposição, temos três possibilidades para X (número de bolas brancas):
  1. Tirar 0 bolas brancas (duas pretas).
  2. Tirar 1 bola branca e 1 preta.
  3. Tirar 2 bolas brancas.

Passo 6

Para não tirar nenhuma bola branca, as duas bolas têm que ser pretas:
P(X = 0) = P(Preta) times P(Preta) = (37) times (37) = 949

Passo 7

Para tirar uma bola branca e uma preta, pode acontecer de tirar branca primeiro e preta depois, ou preta primeiro e branca depois. Então:
P(X = 1) = P(Branca) times P(Preta) + P(Preta) times P(Branca) = (47)(37) + (37)(47) = 2449

Passo 8

Para tirar duas bolas brancas:
P(X = 2) = P(Branca) times P(Branca) = (47) times (47) = 1649

Passo 9

Agora, juntando tudo:
c|c X & P(X) hline 0 & 949 1 & 2449 2 & 1649

Passo 10

Agora vamos para o caso sem reposição. Isso significa que depois de tirar uma bola, ela não volta para a urna, então a composição muda na segunda tentativa.

Passo 11

Para tirar 0 bolas brancas, as duas bolas devem ser pretas. A probabilidade da primeira ser preta é $ \frac{3}{7} $ e, como não há reposição, a segunda preta agora tem probabilidade $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $. Então:
37

Passo 12

Para tirar 1 bola branca e 1 preta, pode ocorrer de tirar branca primeiro e preta depois, ou preta primeiro e branca depois.
  • Tirar branca primeiro:
47 times 36 = 1242
  • Tirar preta primeiro:
37 times 46 = 1242
Somando as duas:
P(X = 1) = 1242 + 1242 = 2442 = 47

Passo 13

Para tirar duas bolas brancas:
47 times 36 = 1242 = 27

Passo 14

Juntando tudo:
c|c X & P(X) hline 0 & 17 1 & 47 2 & 27

Resposta

A distribuição de probabilidade de $ X $ considerando sorteios sem reposição é:
X

Exercícios relacionados