Uma urna contém 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 2 bolas da urna. Seja X: número de bolas brancas. Determinar a distribuição de probabilidade de X.
a) Considerando sorteios com reposição.
b) Considerando sorteios sem reposição.
a) Considerando sorteios com reposição.
b) Considerando sorteios sem reposição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma urna com 4 bolas brancas e 3 pretas, totalizando 7 bolas. Queremos retirar 2 bolas dessa urna e descobrir qual a probabilidade de tirar 0, 1 ou 2 bolas brancas. Isso envolve conceitos de probabilidade, como eventos e distribuição de probabilidade. Para resolver isso, vamos considerar duas situações: a) com reposição (ou seja, depois de tirar uma bola, você coloca ela de volta antes de tirar a próxima) e b) sem reposição (não coloca a bola de volta).
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no caso com reposição. Isso significa que cada vez que tiramos uma bola, a composição da urna não muda porque a bola é colocada de volta.
Passo 3
A probabilidade de tirar uma bola branca na primeira tentativa é o número de bolas brancas dividido pelo total de bolas:
Passo 4
Do mesmo jeito, a probabilidade de tirar uma bola preta é:
Passo 5
Ao tirar duas bolas com reposição, temos três possibilidades para X (número de bolas brancas):
- Tirar 0 bolas brancas (duas pretas).
- Tirar 1 bola branca e 1 preta.
- Tirar 2 bolas brancas.
Passo 6
Para não tirar nenhuma bola branca, as duas bolas têm que ser pretas:
Passo 7
Para tirar uma bola branca e uma preta, pode acontecer de tirar branca primeiro e preta depois, ou preta primeiro e branca depois. Então:
Passo 8
Para tirar duas bolas brancas:
Passo 9
Agora, juntando tudo:
Passo 10
Agora vamos para o caso sem reposição. Isso significa que depois de tirar uma bola, ela não volta para a urna, então a composição muda na segunda tentativa.
Passo 11
Para tirar 0 bolas brancas, as duas bolas devem ser pretas. A probabilidade da primeira ser preta é $ \frac{3}{7} $ e, como não há reposição, a segunda preta agora tem probabilidade $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $. Então:
Passo 12
Para tirar 1 bola branca e 1 preta, pode ocorrer de tirar branca primeiro e preta depois, ou preta primeiro e branca depois.
- Tirar branca primeiro:
- Tirar preta primeiro:
Somando as duas:
Passo 13
Para tirar duas bolas brancas:
Passo 14
Juntando tudo:
Resposta
A distribuição de probabilidade de $ X $ considerando sorteios sem reposição é: