A rede de TV aberta de uma grande cidade tem 30 % da audiência nas noites de sexta-feira, um canal local tem 20 %, a TV a cabo tem 40 % e 10 % assistem Netflix. Qual é a probabilidade de que, entre sete espectadores de televisão selecionados aleatoriamente naquela cidade numa noite de sexta-feira, dois estejam assistindo TV aberta, um esteja assistindo ao canal local, dois estejam vendo TV a cabo e dois estejam assistindo pelo Netflix?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma cidade grande onde a audiência de TV está distribuída da seguinte forma numa sexta-feira à noite:
  • TV aberta: 30%
  • Canal local: 20%
  • TV a cabo: 40%
  • Netflix: 10%
A pergunta quer saber a probabilidade de, entre sete espectadores escolhidos aleatoriamente, exatamente:
  • 2 estejam assistindo TV aberta
  • 1 esteja assistindo ao canal local
  • 2 estejam vendo TV a cabo
  • 2 estejam assistindo Netflix
Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade multinomial, que é uma extensão da distribuição binomial para mais de dois resultados possíveis. Precisamos calcular a probabilidade de uma combinação específica de eventos independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da distribuição multinomial. Se tivermos $ n $ tentativas e cada tentativa pode resultar em $ k $ categorias diferentes com probabilidades $ p_1, p_2, ···, p_k $, a probabilidade de ocorrerem exatamente $ n_1, n_2, ···, n_k $ resultados em cada categoria é dada por:
n
Aqui, $ n! $ é o fatorial de $ n $, que é o produto de todos os números inteiros positivos até $ n $.

Passo 3

Vamos identificar nossos valores:
  • Total de espectadores ($ n $): 7
  • Número assistindo TV aberta ($ n_1 $): 2
  • Número assistindo canal local ($ n_2 $): 1
  • Número assistindo TV a cabo ($ n_3 $): 2
  • Número assistindo Netflix ($ n_4 $): 2
As probabilidades correspondentes são:
  • $ p_1 = 0,30 $ (TV aberta)
  • $ p_2 = 0,20 $ (canal local)
  • $ p_3 = 0,40 $ (TV a cabo)
  • $ p_4 = 0,10 $ (Netflix)

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
P = 7!2! , 1! , 2! , 2! times (0,30)^2 times (0,20)^1 times (0,40)^2 times (0,10)^2
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculamos o fatorial:
7! = 7 times 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 5040
E os fatoriais no denominador:
2! = 2, 1! = 1, 2! = 2, 2! = 2
Então,
2! , 1! , 2! , 2! = 2 times 1 times 2 times 2 = 8

Passo 6

Agora, vamos calcular as potências das probabilidades:
(0,30)^2 = 0,09
(0,20)^1 = 0,20
(0,40)^2 = 0,16
(0,10)^2 = 0,01

Passo 7

Substituindo esses valores na equação:
P = 50408 times 0,09 times 0,20 times 0,16 times 0,01
Primeiro, dividimos 5040 por 8:
50408 = 630

Passo 8

Agora, multiplicamos os valores restantes:
630 times 0,09 = 56,7
56,7 times 0,20 = 11,34
11,34 times 0,16 = 1,8144
1,8144 times 0,01 = 0,018144

Resposta

A probabilidade de que, entre sete espectadores selecionados aleatoriamente, dois estejam assistindo TV aberta, um ao canal local, dois à TV a cabo e dois ao Netflix é aproximadamente 0,0181 ou 1,81%.

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