A rede de TV aberta de uma grande cidade tem
da audiência nas noites de sexta-feira, um canal local tem
, a TV a cabo tem
e
assistem Netflix. Qual é a probabilidade de que, entre sete espectadores de televisão selecionados aleatoriamente naquela cidade numa noite de sexta-feira, dois estejam assistindo TV aberta, um esteja assistindo ao canal local, dois estejam vendo TV a cabo e dois estejam assistindo pelo Netflix?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma cidade grande onde a audiência de TV está distribuída da seguinte forma numa sexta-feira à noite:
- TV aberta: 30%
- Canal local: 20%
- TV a cabo: 40%
- Netflix: 10%
A pergunta quer saber a probabilidade de, entre sete espectadores escolhidos aleatoriamente, exatamente:
- 2 estejam assistindo TV aberta
- 1 esteja assistindo ao canal local
- 2 estejam vendo TV a cabo
- 2 estejam assistindo Netflix
Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade multinomial, que é uma extensão da distribuição binomial para mais de dois resultados possíveis. Precisamos calcular a probabilidade de uma combinação específica de eventos independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da distribuição multinomial. Se tivermos $ n $ tentativas e cada tentativa pode resultar em $ k $ categorias diferentes com probabilidades $ p_1, p_2, ···, p_k $, a probabilidade de ocorrerem exatamente $ n_1, n_2, ···, n_k $ resultados em cada categoria é dada por:
Aqui, $ n! $ é o fatorial de $ n $, que é o produto de todos os números inteiros positivos até $ n $.
Passo 3
Vamos identificar nossos valores:
- Total de espectadores ($ n $): 7
- Número assistindo TV aberta ($ n_1 $): 2
- Número assistindo canal local ($ n_2 $): 1
- Número assistindo TV a cabo ($ n_3 $): 2
- Número assistindo Netflix ($ n_4 $): 2
As probabilidades correspondentes são:
- $ p_1 = 0,30 $ (TV aberta)
- $ p_2 = 0,20 $ (canal local)
- $ p_3 = 0,40 $ (TV a cabo)
- $ p_4 = 0,10 $ (Netflix)
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 5
Primeiro, calculamos o fatorial:
E os fatoriais no denominador:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular as potências das probabilidades:
Passo 7
Substituindo esses valores na equação:
Primeiro, dividimos 5040 por 8:
Passo 8
Agora, multiplicamos os valores restantes:
Resposta
A probabilidade de que, entre sete espectadores selecionados aleatoriamente, dois estejam assistindo TV aberta, um ao canal local, dois à TV a cabo e dois ao Netflix é aproximadamente 0,0181 ou 1,81%.