Lembrando que √[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}} e a^{-1}=\frac{1}{a}, calcule as seguintes integrais
\int_{1}^{3} \frac{10 x-15}{e^{\left(x^{2}-3 x+2\right)}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{3} \frac{10x - 15}{e^{\bigl(x^{2}-3x+2\bigr)}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar substituição (mudança de variável) percebendo que a derivada do expoente x^{2}-3x+2 aparece no numerador, até um fator constante.

Passo 2

Vamos notar que se definirmos
u = x^{2} - 3x + 2,
então sua diferencial é
du = (2x - 3)\,dx.
Mas o numerador da nossa integral é 10x-15, que podemos escrever como
10x - 15 = 5\,(2x - 3).

Passo 3

Com isso, a integral original fica
\int_{1}^{3} \frac{10x - 15}{e^{(x^{2}-3x+2)}}\,dx = \int_{1}^{3} 5\,(2x-3)\,e^{-\,\bigl(x^{2}-3x+2\bigr)}\,dx.
Usando du = (2x-3)\,dx, temos
5\,(2x-3)\,dx = 5\,du.

Passo 4

Portanto, em termos de u, a integral torna-se
\int 5\,e^{-u}\,du.
Essa é uma integral imediata, já que
\int e^{-u}\,du = -\,e^{-u} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, a primitiva geral é
-\,5\,e^{-\,\bigl(x^{2}-3x+2\bigr)} + C.

Passo 6

Agora avaliamos de x=1 a x=3:
para x=1, x^{2}-3x+2 = 1 - 3 + 2 = 0, então e^{-0}=1;
para x=3, x^{2}-3x+2 = 9 -9 +2 = 2, então e^{-2}.
Logo
\int_{1}^{3} \frac{10x - 15}{e^{(x^{2}-3x+2)}}\,dx = \bigl[-5\,e^{-\,\bigl(x^{2}-3x+2\bigr)}\bigr]_{1}^{3} = \bigl(-5\,e^{-2}\bigr)\;-\;\bigl(-5\cdot1\bigr) = 5 \;-\; 5\,e^{-2}.

Resposta

5 - 5\,e^{-2}.

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