Lembrando que √[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}} e a^{-1}=\frac{1}{a}, calcule as seguintes integrais
\int \frac{3 x^{3}+x^{2}-4 x-4}{x^{4}+2 x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3x^{3}+x^{2}-4x-4}{x^{4}+2x^{3}}\,dx.
Estamos diante de uma função racional cujo grau do numerador é menor que o do denominador. A estratégia é usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^{4}+2x^{3}=x^{3}(x+2).
Logo a integral vira
\int \frac{3x^{3}+x^{2}-4x-4}{x^{3}(x+2)}\,dx.

Passo 3

Escrevemos a fração como soma de termos simples:
\frac{3x^{3}+x^{2}-4x-4}{x^{3}(x+2)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x^{3}}+\frac{D}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por x^{3}(x+2) obtemos
3x^{3}+x^{2}-4x-4 = A\,x^{2}(x+2)+B\,x(x+2)+C\,(x+2)+D\,x^{3}.

Passo 4

Expandindo e comparando coeficientes em cada potência de x\) chega-se ao sistema: \[\begin{cases} A + D = 3,\\\\ 2A + B = 1,\\\\ 2B + C = -4,\\\\ 2C = -4. \end{cases}
Da última equação C=-2\]. Substituindo em \(2B+C=-4 B=-1.
Em 2A+B=1 vem A=1.
Por fim A+D=3 implica D=2.

Passo 5

Logo a integral se separa em termos mais simples:
\int\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}+\frac{2}{x+2}\Bigr)\,dx =\int\frac{1}{x}\,dx -\int\frac{1}{x^{2}}\,dx -2\int\frac{1}{x^{3}}\,dx +2\int\frac{1}{x+2}\,dx.
Calculando cada uma:
\int\frac{1}{x}\,dx=\ln\lvert x\rvert,\quad \int\frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x},\quad \int\frac{1}{x^{3}}\,dx=-\frac{1}{2x^{2}},\quad \int\frac{1}{x+2}\,dx=\ln\lvert x+2\rvert.
Logo
-\int\frac{1}{x^{2}}\,dx =-\Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr)=\frac{1}{x}, \quad -2\int\frac{1}{x^{3}}\,dx =-2\Bigl(-\frac{1}{2x^{2}}\Bigr)=\frac{1}{x^{2}}.

Resposta

\int \frac{3x^{3}+x^{2}-4x-4}{x^{4}+2x^{3}}\,dx =\ln\lvert x\rvert+2\ln\lvert x+2\rvert+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+C.

Exercícios relacionados