. Uma caixa d’água tem o formato de um cone circular reto invertido com 80 cm de diâmetro e 60 cm de altura. Uma torneira enche essa caixa à razão de 1000 \pi \mathrm{~mm}^{3} / \mathrm{seg}. Determinando a taxa de variação da altura no instante em que a água está a 10 cm de altura, obtemos um valor…

Passo 1

O enunciado descreve uma caixa d’água com formato de cone circular reto invertido de diâmetro 80 cm e altura 60 cm, que está sendo preenchida a uma vazão constante de
\frac{dV}{dt} = 1000 \pi \text{ mm}^3/\text{s}.
Queremos encontrar a taxa de variação da altura do nível da água, \frac{dh}{dt}, no instante em que h=10 cm. Para isso usaremos semelhança de triângulos para relacionar o raio da superfície da água r com a altura h, a expressão do volume de um cone e derivação em relação ao tempo.

Passo 2

Pela semelhança entre o triângulo que define o cone todo (raio 40 cm, altura 60 cm) e o triângulo da água (raio r, altura h) vale
\frac{r}{h}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad r=\frac{2}{3}\,h.

Passo 3

O volume da água em forma de cone de raio r e altura h é
V=\frac{1}{3}\pi r^2h.
Substituindo r=\tfrac{2}{3}h obtemos
V=\frac{1}{3}\,\pi\Bigl(\frac{2}{3}h\Bigr)^{2}h =\frac{4}{27}\,\pi\,h^{3}.

Passo 4

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t,
\frac{dV}{dt} =\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{4}{27}\pi\,h^{3}\Bigr) =\frac{4}{9}\,\pi\,h^{2}\,\frac{dh}{dt}.

Passo 5

Antes de usar essa relação, convertemos a vazão para \text{cm}^3/\text{s}: como 1\text{ cm}^3=1000\text{ mm}^3,
1000\pi\text{ mm}^3/\text{s} =\pi\text{ cm}^3/\text{s}.
No instante em que h=10 cm, inserimos \frac{dV}{dt}=\pi e h=10 em
\pi =\frac{4}{9}\,\pi\,(10)^{2}\,\frac{dh}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dh}{dt} =\frac{\pi}{\frac{4}{9}\pi\cdot100} =\frac{9}{4\cdot100} =\frac{9}{400}\\ \text{cm/s}.

Resposta

\frac{dh}{dt}=\frac{9}{400}\\ \text{cm/s}.

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