Questão 2: Defina e explique o que são campos Gradientes (Vale 0,5 pts.)
Passo 1
O enunciado pede para definirmos e explicarmos o que são campos gradientes, tema de cálculo vetorial que trata de campos vetoriais associados a funções potenciais.
Passo 2
Dado um domínio
e uma função escalar diferenciável
o operador gradiente de
é o campo vetorial
Passo 3
Chamamos campo gradiente (ou conservativo) a qualquer campo vetorial
para o qual existe uma função potencial
tal que
Passo 4
Propriedades fundamentais de campos gradientes:
- A integral de linha
independe do caminho , dependendo apenas dos pontos inicial e final. - Em um domínio simplesmente conexo,
é gradiente se e somente se
Passo 5
Geometricamente,
indica a direção e intensidade de maior crescimento de
. Em física, campos de força conservativos (como gravitacional ou eletrostático) são exemplos típicos de campos gradientes.
Resposta
Um campo gradiente (ou conservativo) é um campo vetorial
que pode ser escrito como gradiente de uma função escalar diferenciável
, isto é,
e se caracteriza pela independência de caminho das integrais de linha e pela condição
em domínios simplesmente conexos.