Questão 2: Defina e explique o que são campos Gradientes (Vale 0,5 pts.)

Passo 1

O enunciado pede para definirmos e explicarmos o que são campos gradientes, tema de cálculo vetorial que trata de campos vetoriais associados a funções potenciais.

Passo 2

Dado um domínio \Omega\subseteq\mathbb{R}^n e uma função escalar diferenciável
f\colon \Omega \to \mathbb{R},
o operador gradiente de f é o campo vetorial
\nabla f = \Bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x_1},\,\tfrac{\partial f}{\partial x_2},\dots,\tfrac{\partial f}{\partial x_n}\Bigr).

Passo 3

Chamamos campo gradiente (ou conservativo) a qualquer campo vetorial \mathbf{F} para o qual existe uma função potencial f tal que
\mathbf{F}=\nabla f.

Passo 4

Propriedades fundamentais de campos gradientes:
  • A integral de linha \int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}independe do caminho C, dependendo apenas dos pontos inicial e final.
  • Em um domínio simplesmente conexo, \mathbf{F} é gradiente se e somente se \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.

Passo 5

Geometricamente, \mathbf{F}(x) indica a direção e intensidade de maior crescimento de f. Em física, campos de força conservativos (como gravitacional ou eletrostático) são exemplos típicos de campos gradientes.

Resposta

Um campo gradiente (ou conservativo) é um campo vetorial \mathbf{F} que pode ser escrito como gradiente de uma função escalar diferenciável f, isto é,
\mathbf{F}=\nabla f,
e se caracteriza pela independência de caminho das integrais de linha e pela condição \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em domínios simplesmente conexos.

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