Encontre as derivadas das funções trigonométricas inversas:
\operatorname{arctg} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \operatorname{arctg} x. O conteúdo que vamos usar é a diferenciação de funções inversas, aplicando diferenciação implícita e a identidade trigonométrica para secante.

Passo 2

Defina
y = \operatorname{arctg} x
por definição de função inversa temos
\operatorname{tg} y = x.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação a x, usando que \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tg} y\bigr)=\operatorname{sec}^2 y\cdot y', obtemos
\operatorname{sec}^2 y \;y' = 1.

Passo 4

Isolando y' vem
y' = \frac{1}{\operatorname{sec}^2 y}.
Como \operatorname{sec}^2 y = 1 + \operatorname{tg}^2 y e \operatorname{tg} y = x, temos
\operatorname{sec}^2 y = 1 + x^2.
Logo
y' = \frac{1}{1 + x^2}.

Resposta

\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arctg} x\bigr) = \frac{1}{1 + x^2}.

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