Uma caixa e uma esfera são soltas do topo de um plano inclinado. A caixa desliza sem atrito, e a esfera rola sem deslizar.
a) Qual chega primeiro ao final da rampa?
b) Justifique comparando as formas de energia envolvidas.

Passo 1

O enunciado apresenta uma caixa que desliza sem atrito e uma esfera que rola sem deslizar desde o topo de uma rampa de comprimento L e ângulo \theta. Queremos saber qual chega primeiro e comparar as formas de energia envolvidas. Para resolver, usaremos dinâmica no plano inclinado, cinemática e conservação de energia incluindo energia rotacional.

Passo 2

Para a caixa sem atrito, a única componente da força que acelera é mg\sin\theta. Pela segunda lei de Newton,
a_{\text{caixa}} = \frac{mg\sin\theta}{m} = g\sin\theta.
Aplicando a fórmula do movimento uniformemente acelerado desde o repouso para percorrer L,
t_{\text{caixa}} = \sqrt{\frac{2L}{a_{\text{caixa}}}} = \sqrt{\frac{2L}{g\sin\theta}}.

Passo 3

Para a esfera que rola sem deslizar, usamos conservação de energia entre o ponto inicial e o final da rampa:
mgh = \frac{1}{2}mV^2 + \frac{1}{2}I\omega^2,
onde h=L\sin\theta, I=\tfrac{2}{5}mR^2 e \omega=V/R. Substituindo,
mgh = \frac{1}{2}mV^2 + \frac{1}{2}\frac{2}{5}mR^2\frac{V^2}{R^2} = \frac{1}{2}mV^2\Bigl(1+\tfrac{2}{5}\Bigr) = \frac{7}{10}mV^2.
Logo,
V = \sqrt{\frac{10}{7}gh}.

Passo 4

A aceleração média da esfera pode ser obtida por V^2=2a\,h, de onde
a_{\text{esfera}} = \frac{V^2}{2h} = \frac{\frac{10}{7}gh}{2h} = \frac{5}{7}\,g\sin\theta.
O tempo de descida é
t_{\text{esfera}} = \sqrt{\frac{2L}{a_{\text{esfera}}}} = \sqrt{\frac{2L}{(5/7)g\sin\theta}} = \sqrt{\tfrac{7}{5}}\;\sqrt{\frac{2L}{g\sin\theta}} = \sqrt{\tfrac{7}{5}}\;t_{\text{caixa}}.

Passo 5

Como \sqrt{\tfrac{7}{5}}>1, temos t_{\text{esfera}}>t_{\text{caixa}}. Portanto, a caixa chega antes.
Em termos de energia, a caixa converte toda energia potencial mgh em energia cinética translacional \tfrac12mV^2, enquanto a esfera divide mgh entre energia cinética translacional e energia rotacional \tfrac12I\omega^2. Isso reduz a fração disponível para a translação da esfera, fazendo-a descer mais devagar.

Resposta

A caixa chega primeiro ao final da rampa.

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