Uma caixa e uma esfera são soltas do topo de um plano inclinado. A caixa desliza sem atrito, e a esfera rola sem deslizar.
a) Qual chega primeiro ao final da rampa?
b) Justifique comparando as formas de energia envolvidas.
a) Qual chega primeiro ao final da rampa?
b) Justifique comparando as formas de energia envolvidas.
Passo 1
O enunciado apresenta uma caixa que desliza sem atrito e uma esfera que rola sem deslizar desde o topo de uma rampa de comprimento
e ângulo
. Queremos saber qual chega primeiro e comparar as formas de energia envolvidas. Para resolver, usaremos dinâmica no plano inclinado, cinemática e conservação de energia incluindo energia rotacional.
Passo 2
Para a caixa sem atrito, a única componente da força que acelera é
. Pela segunda lei de Newton,
Aplicando a fórmula do movimento uniformemente acelerado desde o repouso para percorrer
,
Passo 3
Para a esfera que rola sem deslizar, usamos conservação de energia entre o ponto inicial e o final da rampa:
onde
,
e
. Substituindo,
Logo,
Passo 4
A aceleração média da esfera pode ser obtida por
, de onde
O tempo de descida é
Passo 5
Como
, temos
. Portanto, a caixa chega antes.
Em termos de energia, a caixa converte toda energia potencial em energia cinética translacional
, enquanto a esfera divide
entre energia cinética translacional e energia rotacional
. Isso reduz a fração disponível para a translação da esfera, fazendo-a descer mais devagar.
Em termos de energia, a caixa converte toda energia potencial
Resposta
A caixa chega primeiro ao final da rampa.