Um motor fornece um torque \tau(t)=2 t \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}, onde t está em segundos. A velocidade angular inicial é zero.
a) Qual será a potência no instante t=3 \mathrm{~s} ?
b) Qual será a energia cinética rotacional adquirida até esse instante?

Passo 1

O enunciado dá um torque variável
\tau(t) = 2\,t \quad\text{(N\cdotm)},
com velocidade angular inicial nula, e pede:
a) a potência em t=3 s;
b) a energia cinética rotacional adquirida até esse instante.
Para resolver, precisamos usar as relações
\tau = I\,\alpha = I\,\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm d t}, \quad P = \tau\,\omega, \quad E_k = \tfrac12\,I\,\omega^2,
onde I é o momento de inércia (não fornecido, então manteremos as respostas em função de I).

Passo 2

Usando \tau = I\,\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm d t}, temos
\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm d t} = \frac{\tau(t)}{I} = \frac{2\,t}{I}.
Integrando de 0 a t e sabendo que \omega(0)=0,
\omega(t) = \int_{0}^{t} \frac{2\,t'}{I}\,\mathrm d t' = \frac{2}{I}\,\frac{t^2}{2} = \frac{t^2}{I}.

Passo 3

A potência instantânea é
P(t) = \tau(t)\,\omega(t) = \bigl(2\,t\bigr)\,\Bigl(\frac{t^2}{I}\Bigr) = \frac{2\,t^3}{I}.
Em t=3 s,
P(3) = \frac{2\cdot 3^3}{I} = \frac{54}{I} \quad\text{(W)}.

Passo 4

A energia cinética rotacional é
E_k(t) = \int_{0}^{t} P(t')\,\mathrm d t' = \int_{0}^{t} \frac{2\,t'^3}{I}\,\mathrm d t' = \frac{2}{I}\,\frac{t^4}{4} = \frac{t^4}{2\,I}.
Em t=3 s,
E_k(3) = \frac{3^4}{2\,I} = \frac{81}{2\,I} \quad\text{(J)}.

Resposta

P(3 s) =\dfrac{54}{I} W E_k(3 s) = \dfrac{81}{2\,I} J

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