Uma caixa fechada com base quadrada deve apresentar um volume de 2.000 cm^3. O material para a tampa e o fundo da caixa custa R por por e o material para os lados custa e o material para os lados custa por 1,50. Se cm^2 denota um dos lados da base e x o custo total do material em função de C(x), determine uma expressão para o custo x.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma caixa fechada de base quadrada com lado x e volume 2000 cm^3. Precisamos modelar o custo do material em função de x, usando geometria de prismas e custos por área.

Passo 2

Volume e altura: o volume de um prisma é a área da base vezes a altura. Aqui, a base tem área x^2, então
x^2 h = 2000
o que dá
h = 2000x^2

Passo 3

Custos da tampa e do fundo: cada um tem área x^2 e custa R$3,00 por 3,00 por . Como são dois, o custo é
Como são dois, o custo é

Passo 4

Custos das laterais: são quatro faces, cada uma com área x times h, totalizando 4xh. O custo é R$1,50 por 1,50 por , logo
, logo

Passo 5

Soma dos custos: somando tampas e laterais, em função de h temos
C(x) = 6x^2 + 6xh

Passo 6

Substituição da altura: usamos h = 2000/x^2 em C(x) = 6x^2 + 6xh para obter a forma final da função de custo.

Resposta

C(x) = 6x^2 + 12000x

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