Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de
. O material da tampa e da base custa
3,00
\mathrm{cm}^{2}
R $1,50
\mathrm{cm}^{2}$. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo de produção seja o menor possível.
Justi que todas as respostas, apresentando todos os passos da sua resolução!
Justi que todas as respostas, apresentando todos os passos da sua resolução!
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma caixa fechada com base quadrada que precisa ter um volume de
. O custo do material para a tampa e a base é de R$3,00 por
, e para os lados é de R$ 1,50 por
. Nosso objetivo é encontrar as dimensões da caixa (ou seja, o tamanho da base e a altura) de modo que o custo total de produção seja o menor possível. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especialmente otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas variáveis. Vamos chamar:
-
= comprimento de cada lado da base quadrada (em cm) -
= altura da caixa (em cm)
Sabemos que o volume da caixa é dado por:
E queremos que esse volume seja
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as áreas que precisamos para encontrar o custo total:
- Base: como a base é quadrada, a área é
. - Tampa: igual à base, também é
. - Lados: a caixa tem 4 lados, cada um com área
. Então, a área total dos lados é .
Passo 4
Vamos agora calcular o custo de cada parte:
- Base e tampa: cada uma custa R$3,00 por
. Então, o custo total para a base e a tampa é:
- Lados: os 4 lados custam R$1,50 por
. Então, o custo total dos lados é:
Passo 5
O custo total
da caixa é a soma dos custos da base, tampa e lados:
Mas lembra que temos a relação do volume:
Vamos substituir
na equação do custo para termos
somente em função de
:
Passo 6
Agora, queremos minimizar o custo
. Para isso, vamos derivar
em relação a
e encontrar onde essa derivada é zero (pontos críticos):
Derivando em relação a
:
Igualamos a derivada a zero para encontrar o mínimo:
Passo 7
Vamos resolver a equação:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Dividindo ambos os lados por 12:
Agora, tirando a raiz cúbica dos dois lados:
Passo 8
Agora que encontramos
, vamos calcular
usando a relação do volume:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam o custo de produção são:
- Base: 10 cm de cada lado
- Altura: 20 cm