Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de . O material da tampa e da base custa 3,00 \mathrm{cm}^{2} R $1,50 \mathrm{cm}^{2}$. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo de produção seja o menor possível.
Justi que todas as respostas, apresentando todos os passos da sua resolução!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma caixa fechada com base quadrada que precisa ter um volume de . O custo do material para a tampa e a base é de R$3,00 por , e para os lados é de R$ 1,50 por . Nosso objetivo é encontrar as dimensões da caixa (ou seja, o tamanho da base e a altura) de modo que o custo total de produção seja o menor possível. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especialmente otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis. Vamos chamar:
  • x = comprimento de cada lado da base quadrada (em cm)
  • h = altura da caixa (em cm)
Sabemos que o volume da caixa é dado por:
V = x^2 times h
E queremos que esse volume seja 2000 , cm^3. Então, temos:
x^2 times h = 2000

Passo 3

Agora, vamos calcular as áreas que precisamos para encontrar o custo total:
  1. Base: como a base é quadrada, a área é x^2.
  2. Tampa: igual à base, também é x^2.
  3. Lados: a caixa tem 4 lados, cada um com área x times h. Então, a área total dos lados é 4xh.

Passo 4

Vamos agora calcular o custo de cada parte:
  • Base e tampa: cada uma custa R$3,00 por . Então, o custo total para a base e a tampa é:
  • Lados: os 4 lados custam R$1,50 por . Então, o custo total dos lados é:

Passo 5

O custo total C da caixa é a soma dos custos da base, tampa e lados:
C = 6x^2 + 6xh
Mas lembra que temos a relação do volume:
x^2h = 2000 Rightarrow h = 2000x^2
Vamos substituir h na equação do custo para termos C somente em função de x:
C = 6x^2 + 6x ( 2000x^2 ) = 6x^2 + 12000x

Passo 6

Agora, queremos minimizar o custo C. Para isso, vamos derivar C em relação a x e encontrar onde essa derivada é zero (pontos críticos):
C(x) = 6x^2 + 12000x
Derivando em relação a x:
C'(x) = 12x - 12000x^2
Igualamos a derivada a zero para encontrar o mínimo:
12x - 12000x^2 = 0

Passo 7

Vamos resolver a equação:
12x = 12000x^2
Multiplicando ambos os lados por x^2 para eliminar a fração:
12x^3 = 12000
Dividindo ambos os lados por 12:
x^3 = 1000
Agora, tirando a raiz cúbica dos dois lados:
x = raiz[3]1000 = 10 , cm

Passo 8

Agora que encontramos x = 10 , cm, vamos calcular h usando a relação do volume:
h = 2000x^2 = 200010^2 = 2000100 = 20 , cm

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam o custo de produção são:
  • Base: 10 cm de cada lado
  • Altura: 20 cm

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