Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja N1 o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e N2 o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
a) Encontre a função de probabilidade conjunta de N1 e N2;
b) Encontre a função de probabilidade marginal de N1;
c) Encontre a função de probabilidade marginal de N2.

Passo 1

O problema apresenta uma caixa com 5 lâmpadas, das quais 2 são defeituosas, testadas sem reposição até identificar as duas defeituosas. As variáveis aleatórias são o número de testes até a primeira defeituosa (N₁) e até a segunda defeituosa (N₂). Vamos usar a ideia de que as duas lâmpadas defeituosas ocupam duas posições distintas entre as 5 possíveis, todas igualmente prováveis.

Passo 2

Em uma permutação aleatória das 5 lâmpadas, qualquer par de posições (i,j) com 1≤i<j≤5 para as duas defeituosas tem probabilidade igual a 1/C(5,2)=1/10. Logo, a função de probabilidade conjunta é

Passo 3

Foi então fácil obter a marginal de N₁ somando P(N₁=i,N₂=j) sobre j de i+1 até 5, e a marginal de N₂ somando sobre i de 1 até j-1.

Passo 4

As marginais ficam proporcionais ao número de valores válidos de j (para N₁) e de i (para N₂), divididos por 10.

Resposta

A função de probabilidade conjunta é
P(N1=i,N2=j)= dfrac110,&1<= iá
As marginais são
P(N1=i)=5-i10, i=1,2,3,4,
P(N2=j)=j-110, j=2,3,4,5

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