Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja
o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e
o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
a) Encontre a função de probabilidade conjunta de
e
;
b) Encontre a função de probabilidade marginal de
;
c) Encontre a função de probabilidade marginal de
.
a) Encontre a função de probabilidade conjunta de
b) Encontre a função de probabilidade marginal de
c) Encontre a função de probabilidade marginal de
Passo 1
O problema apresenta uma caixa com 5 lâmpadas, das quais 2 são defeituosas, testadas sem reposição até identificar as duas defeituosas. As variáveis aleatórias são o número de testes até a primeira defeituosa (N₁) e até a segunda defeituosa (N₂). Vamos usar a ideia de que as duas lâmpadas defeituosas ocupam duas posições distintas entre as 5 possíveis, todas igualmente prováveis.
Passo 2
Em uma permutação aleatória das 5 lâmpadas, qualquer par de posições (i,j) com 1≤i<j≤5 para as duas defeituosas tem probabilidade igual a 1/C(5,2)=1/10. Logo, a função de probabilidade conjunta é
Passo 3
Foi então fácil obter a marginal de N₁ somando P(N₁=i,N₂=j) sobre j de i+1 até 5, e a marginal de N₂ somando sobre i de 1 até j-1.
Passo 4
As marginais ficam proporcionais ao número de valores válidos de j (para N₁) e de i (para N₂), divididos por 10.
Resposta
A função de probabilidade conjunta é
As marginais são