A função de densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y)=67(x^2+x y2), 0
a) Verifique que f(x, y) é de fato uma função densidade conjunta;
b) Encontre as densidades marginais de Xe Y ;
c) Determine E[X] e E[Y];
d) Determine P(X>Y);
e) Determine ;

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com a densidade conjunta de duas variáveis contínuas X e Y, que está dada por f(x,y)=tfrac67l(x^2+tfracxy2r) para 0 e 0. Vamos usar conceitos de funções densidade, integrais duplas, densidades marginais, valor esperado e probabilidade conjunta/condicional.

Passo 2

Primeiro verificamos que f(x,y) é de fato uma densidade conjunta, ou seja, não-negativa e integra 1 no domínio. Calculamos
Dentro,
nintegral0^1integral0^2 f(x,y),dy,dx =67integral0^1integral0^2l(x^2+xy2r)dy,dx
Logo
E como integral0^2l(x^2+xy2r)dy = x^2cdot2 + x2integral0^2y,dy =2x^2 + x2cdot2 =2x^2 + x no domínio, nintegral0^1integral0^2 f(x,y),dy,dx =67integral0^1(2x^2+x)dx =67l[2x^33+x^22r]0^1 =67l(23+12r) =1 .

Passo 3

Para achar as densidades marginais usamos integrais unidimensionais. Para fX(x):
fX(x)=integral0^2f(x,y),dy =67l(integral0^2x^2dy+integral0^2xy2dyr) =67l(2x^2+xr) =127x^2+67x,
valendo para 0. Para fY(y):
fY(y)=integral0^1f(x,y),dx =67l(integral0^1x^2dx+integral0^1xy2dxr) =67l(13+y4r) =27+3y14,
valendo para 0.

Passo 4

Para calcular E[X] usamos
E[X]=integral0^1x,fX(x)dx =integral0^1xl(127x^2+67xr)dx =127x^44+67x^33|0^1 =37+27 =57
De modo análogo,
E[Y]=integral0^2y,fY(y)dy =integral0^2yl(27+3y14r)dy =27y^22+314y^33|0^2 =47+47 =87

Passo 5

Para P(X>Y) integramos sobre a região 0:
P(X>Y)=integral0^1integral0^x f(x,y),dy,dx =integral0^167l(integral0^x(x^2+tfracxy2)dyr)dx =integral0^1675x^34dx =1514integral0^1x^3dx =1514cdot14 =1556

Passo 6

Por fim, para a probabilidade condicional
Pl(Y>tfrac12mid Xtfrac12,,XCalculamos
P(X
e
Pl(Y>tfrac12,,X
Logo
Pl(Y>tfrac12mid X

Resposta

a) Sim, f(x,y)>=0 e integra 1.
b) fX(x)=tfrac127x^2+tfrac67x, 0; fY(y)=tfrac27+tfrac3y14, 0.
c) E[X]=tfrac57, E[Y]=tfrac87.
d) P(X>Y)=tfrac1556.
e) P(Y>tfrac12mid X.

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