Um certo experimento consiste em sortear uma bola em uma urna, observar sua cor, e devolver a bola para a urna junto com outra bola da mesma cor. Realizamos este experimento 3 vezes em uma urna que contém, inicialmente, n bolas azuis e m bolas amarelas.
Denote por Xi e Yi, i=1,2,3 o total, respectivamente, de bolas azuis e amarelas na urna após i repetições do experimento.
a) Encontre as funções de probabilidade conjunta de Xi, Yi, para cada i=1,2,3.
b) Calcule
P((Xi+1, Yi+1)=(k+1, l) mid(Xi+1, Yi+1)=(k, l))
e
P((Xi+1, Yi+1)=(k, l+1) mid(Xi+1, Yi+1)=(k, l))
para cada i=1,2.

Passo 1

O enunciado descreve um modelo de urna de Pólya: começamos com n bolas azuis e m bolas amarelas, e a cada sorteio devolvemos a bola mais uma outra da mesma cor. Queremos achar a) a distribuição conjunta de (X_i,Y_i) após i=1,2,3 sorteios e b) as probabilidades de ir de (k,l) em i a (k+1,l) ou (k,l+1) em i+1.

Passo 2

Após i sorteios, o total de bolas na urna é n+m+i. Se fizermos k sorteios de bolas azuis e i−k de bolas amarelas, então fica X_i=n+k e Y_i=m+(i−k). O número de sorteios azuis K segue o modelo clássico de Pólya, em que as chances de azul ou amarelo mudam conforme acrescentamos bolas de cada cor.
A distribuição conjunta geral é, para k=0,1,…,i:
Pl(Xi=n+k,,Yi=m+i-kr)=binomikn(n+1)cdots(n+k-1) cdot m(m+1)cdots(m+i-k-1)(n+m)(n+m+1)cdots(n+m+i-1)

Passo 3

Especializando em i=1,2,3:
i=1:
$$P(X_1=n+1,Y_1=m)=\frac{n}{n+m},\quad P(X_1=n,Y_1=m+1)=\frac{m}{n+m}.
P(X1=n+1,Y1=m)=nn+m, P(X1=n,Y1=m+1)=mn+m P(X_2=n+2,Y_2=m)=\frac{n(n+1)}{(n+m)(n+m+1)},\quad P(X_2=n+1,Y_2=m+1)=\frac{2nm}{(n+m)(n+m+1)},\quad P(X_2=n,Y_2=m+2)=\frac{m(m+1)}{(n+m)(n+m+1)}.
P(X2=n+2,Y2=m)=n(n+1)(n+m)(n+m+1), P(X2=n+1,Y2=m+1)=2nm(n+m)(n+m+1), P(X2=n,Y2=m+2)=m(m+1)(n+m)(n+m+1) P(X_3=n+3,Y_3=m)=\frac{n(n+1)(n+2)}{(n+m)(n+m+1)(n+m+2)},\quad P(X_3=n+2,Y_3=m+1)=\frac{3n(n+1)m}{(n+m)(n+m+1)(n+m+2)},
$$
$$P(X_3=n+1,Y_3=m+2)=\frac{3n m(m+1)}{(n+m)(n+m+1)(n+m+2)},\quad P(X_3=n,Y_3=m+3)=\frac{m(m+1)(m+2)}{(n+m)(n+m+1)(n+m+2)}.
$$

Passo 4

Para o item b), se após i sorteios estamos em (X_i,Y_i)=(k,l), então a urna tem k bolas azuis e l amarelas. No próximo sorteio a chance de azul é k/(k+l) e de amarelo é l/(k+l). Logo:
Pl((Xi+1,Yi+1)=(k+1,l)mid (Xi,Yi)=(k,l)r)=kk+l,
Pl((Xi+1,Yi+1)=(k,l+1)mid (Xi,Yi)=(k,l)r)=lk+l

Resposta

a) Para i=1,2,3:
i=1: P(X_1=n+1,Y_1=m)=n/(n+m), P(X_1=n,Y_1=m+1)=m/(n+m).
i=2: P(X_2=n+2,Y_2=m)=n(n+1)/[(n+m)(n+m+1)], P(X_2=n+1,Y_2=m+1)=2nm/[(n+m)(n+m+1)], P(X_2=n,Y_2=m+2)=m(m+1)/[(n+m)(n+m+1)].
i=3: P(X_3=n+3,Y_3=m)=n(n+1)(n+2)/[(n+m)(n+m+1)(n+m+2)], P(X_3=n+2,Y_3=m+1)=3n(n+1)m/[(n+m)(n+m+1)(n+m+2)], P(X_3=n+1,Y_3=m+2)=3n m(m+1)/[(n+m)(n+m+1)(n+m+2)], P(X_3=n,Y_3=m+3)=m(m+1)(m+2)/[(n+m)(n+m+1)(n+m+2)].
b) P((X_{i+1},Y_{i+1})=(k+1,l)
mid (X_i,Y_i)=(k,l))=k/(k+l), P((X_{i+1},Y_{i+1})=(k,l+1)
mid (X_i,Y_i)=(k,l))=l/(k+l).

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