Dada a função de distribuição acumulada
F(x)= 0 & se x<1 x4 & se 1 <= x<2 0,5 & se 2 <= x<3 0,7 & se 3 <= x<4 (x-4)^2+45 & se 4 <= x<5 1 & se 5 <= x
de uma v.a. X, determine as seguintes probabilidades:
P(X=1) P(X=2) P(X=4) P(X=3) P(2 <= X<4) P(X>3) P(X <= X <= 4)

Passo 1

Estamos com uma v.a. mista cuja FDC é dada por trechos constantes (átomos) e trechos crescentes (parte contínua). Vamos usar: para qualquer ponto a, a probabilidade de massa em a é P(X=a)=F(a)-F(a^-). Para intervalos, P(a<= X, e ainda P(X>b)=1-F(b) e P(X<= b)=F(b).

Passo 2

Precisamos achar os valores laterais F(a^-) e F(a) em a=1,2,3,4:
Para a=1:
F(1^-)=0 e F(1)=tfrac14=0,25.
Para a=2:
F(2^-)=limxto2^-tfracx4=tfrac24=0,5 e F(2)=0,5.
Para a=3:
F(3^-)=0,5 e F(3)=0,7.
Para a=4:
F(4^-)=0,7 e F(4)=tfrac(4-4)^2+45=tfrac45=0,8.

Passo 3

Agora calculamos as massas em cada ponto:
P(X=1)=F(1)-F(1^-)=0,25-0=0,25.
P(X=2)=F(2)-F(2^-)=0,5-0,5=0.
P(X=3)=F(3)-F(3^-)=0,7-0,5=0,2.
P(X=4)=F(4)-F(4^-)=0,8-0,7=0,1.

Passo 4

Agora a probabilidade no intervalo e as outras solicitações:
P(2<= X<4)=F(4^-)-F(2^-)=0,7-0,5=0,2.
P(X>3)=1-F(3)=1-0,7=0,3.
P(X<=4)=F(4)=0,8.

Resposta

P(X=1)=0,25;
P(X=2)=0;
P(X=3)=0,2;
P(X=4)=0,1;
P(2\le X<4)=0,2;
P(X>3)=0,3;
P(X\le4)=0,8.

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