Uma caixa de massa m desliza para baixo, apoiada em uma superfície inclinada de um ângulo \theta com a horizontal, empurrada por uma força horizontal cujo módulo é F. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a superfície é \mu_{c} e o módulo da aceleração da gravidade local é g. (a) Faça um diagrama de corpo isolado para a caixa. Determine (b) a força de atrito cinético sobre a caixa; (c) a aceleração da caixa e (d) o módulo da força \vec{F} para que a caixa deslize para baixo com velocidade constante.

Passo 1

Enunciado e o que se pede: temos uma caixa de massa m sobre um plano inclinado que faz um ângulo \theta com a horizontal. Há uma força externa horizontal de módulo F empurrando a caixa (direção horizontal, entra na superfície). O coeficiente de atrito cinético é \mu_{c}. A gravidade tem módulo g.
Perguntas:
(a) faça o diagrama de corpo isolado (liste as forças que atuam na caixa);
(b) determine a força de atrito cinético sobre a caixa (módulo e direção);
(c) determine a aceleração da caixa;
(d) determine o valor de F para que a caixa deslize para baixo com velocidade constante (ou seja, aceleração nula).
Informações dadas que vamos usar: m,\;\theta,\;F,\;\mu_{c},\;g.

Passo 2

Escolha de eixos e descrição do diagrama de corpo isolado (FBD). Vamos usar eixos convenientes ligados ao plano: eixo x ao longo do plano, apontando para baixo ao longo da rampa (positivo para o sentido de descida); eixo y perpendicular ao plano, apontando para fora da superfície (positivo para fora). No diagrama aparecem as seguintes forças:
  • peso: \vec{P}=m\vec{g}, vertical para baixo. Suas componentes nos eixos escolhidos são P_x = mg\sin\theta\quad\text{(para baixo ao longo do plano)},
P_y = mg\cos\theta\quad\text{(para dentro do plano)}.
(Essas componentes vêm de decompor o vetor peso em direções paralela e perpendicular ao plano; o ângulo entre a direção do plano e a horizontal é \theta, daí os senos e cossenos.)
  • força horizontal externa: \vec{F}, horizontal (no enunciado). Decompõe-se nos eixos do plano com F_x = F\cos\theta\quad\text{(componente ao longo do plano, aponta para baixo se \(F\) empurra da direita para a esquerda como na figura)},
F_y = F\sin\theta\quad\text{(componente perpendicular, empurrando para dentro do plano)}.
(Explicação: a componente ao longo do plano é a projeção da horizontal na direção do plano; o ângulo entre a horizontal e a direção do plano é \theta, daí F\cos\theta e F\sin\theta.)
  • reação normal da superfície: \vec{N}, perpendicular ao plano, apontando para fora (positiva em y).
  • força de atrito cinético: \vec{f}_c, de módulo f_c=\mu_{c}N, atuando tangencialmente ao plano e sempre se opondo ao movimento relativo; se a caixa desliza para baixo, então \vec{f}_c aponta para cima ao longo do plano.

Passo 3

Equilíbrio na direção perpendicular ao plano: a caixa não acelera para fora/nas profundezas do plano, logo a soma das componentes perpendiculares é zero. Escrevemos
\sum F_y = 0 \quad\Rightarrow\quad N - P_y - F_y = 0.
Substituindo as componentes:
N - mg\cos\theta - F\sin\theta = 0.
Logo
N = mg\cos\theta + F\sin\theta.
Interpretação didática: a normal aumenta quando você empurra a caixa horizontalmente, porque a componente perpendicular da força F “empurra” a caixa contra o plano.

Passo 4

Expressão do atrito cinético. A magnitude da força de atrito cinético é dada pela lei empírica
f_c = \mu_{c}\,N.
Substituindo N que acabamos de achar:
f_c = \mu_{c}\bigl(mg\cos\theta + F\sin\theta\bigr).
Direção: o atrito age ao longo do plano e se opõe ao movimento relativo. Se a caixa desliza para baixo, então \vec{f}_c aponta para cima ao longo do plano.

Passo 5

Equação do movimento ao longo do plano (eixo x). Pela segunda lei de Newton, tomando positivo para baixo ao longo do plano,
\sum F_x = m a.
As forças com componente em x são: P_x = mg\sin\theta para baixo, F_x = F\cos\theta para baixo, e o atrito f_c para cima (sinal negativo). Logo
mg\sin\theta + F\cos\theta - f_c = m a.
Substituindo f_c da etapa anterior:
mg\sin\theta + F\cos\theta - \mu_{c}\bigl(mg\cos\theta + F\sin\theta\bigr) = m a.
Agora isolamos a. Primeiro expandimos os termos:
mg\sin\theta + F\cos\theta - \mu_{c}mg\cos\theta - \mu_{c}F\sin\theta = m a.
Agrupando os termos com m e com F:
m\bigl(g\sin\theta - \mu_{c}g\cos\theta\bigr) + F\bigl(\cos\theta - \mu_{c}\sin\theta\bigr) = m a.
Dividindo por m:
a = g\bigl(\sin\theta - \mu_{c}\cos\theta\bigr) + \frac{F}{m}\bigl(\cos\theta - \mu_{c}\sin\theta\bigr).
Interpretação física: o primeiro termo é a componente da gravidade ao longo do plano reduzida pelo atrito que depende de mg; o segundo termo é o efeito da força horizontal, que contribui tanto na direção tangencial ( F\cos\theta ) quanto via alteração da normal (o termo com \mu_c).

Passo 6

Condição para deslizar para baixo com velocidade constante: velocidade constante significa a=0. Então colocamos a=0 na expressão do passo anterior e resolvemos para F.
0 = g\bigl(\sin\theta - \mu_{c}\cos\theta\bigr) + \frac{F}{m}\bigl(\cos\theta - \mu_{c}\sin\theta\bigr).
Isolando o termo com F:
\frac{F}{m}\bigl(\cos\theta - \mu_{c}\sin\theta\bigr) = -g\bigl(\sin\theta - \mu_{c}\cos\theta\bigr).
Multiplicando ambos os lados por m e reorganizando o lado direito:
F\bigl(\cos\theta - \mu_{c}\sin\theta\bigr) = mg\bigl(\mu_{c}\cos\theta - \sin\theta\bigr).
Finalmente, desde que \cos\theta - \mu_{c}\sin\theta \neq 0, obtemos
F = mg\,\frac{\mu_{c}\cos\theta - \sin\theta}{\cos\theta - \mu_{c}\sin\theta}.
Comentário rápido: para que F física e positivamente exista, numerador e denominador devem ter o mesmo sinal; caso contrário o sinal da força exigida seria negativo (o que corresponde a empurrar no sentido oposto).

Resposta

(a) Forças no diagrama de corpo isolado: \vec{P}=m\vec{g} (peso, vertical para baixo) com componentes P_x = mg\sin\theta (para baixo ao longo do plano) e P_y = mg\cos\theta (para dentro do plano); \vec{F} (força horizontal) com componentes F_x = F\cos\theta (para baixo ao longo do plano) e F_y = F\sin\theta (para dentro do plano); reação normal \vec{N} (perpendicular ao plano, para fora) e atrito cinético \vec{f}_c (tangencial ao plano, de módulo f_c=\mu_{c}N, orientado para cima ao longo do plano se a caixa desliza para baixo).
(b) f_c = \mu_{c}\bigl(mg\cos\theta + F\sin\theta\bigr) (direção: para cima ao longo do plano quando a caixa desliza para baixo).
(c) a = g\bigl(\sin\theta - \mu_{c}\cos\theta\bigr) + \dfrac{F}{m}\bigl(\cos\theta - \mu_{c}\sin\theta\bigr).
(d) Para velocidade constante descendo ( a=0):
F = mg\,\frac{\mu_{c}\cos\theta - \sin\theta}{\cos\theta - \mu_{c}\sin\theta}.

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