Uma caixa de massa
desliza para baixo, apoiada em uma superfície inclinada de um ângulo
com a horizontal, empurrada por uma força horizontal cujo módulo é
. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a superfície é
e o módulo da aceleração da gravidade local é
. (a) Faça um diagrama de corpo isolado para a caixa. Determine (b) a força de atrito cinético sobre a caixa; (c) a aceleração da caixa e (d) o módulo da força
para que a caixa deslize para baixo com velocidade constante.
Passo 1
Enunciado e o que se pede: temos uma caixa de massa
sobre um plano inclinado que faz um ângulo
com a horizontal. Há uma força externa horizontal de módulo
empurrando a caixa (direção horizontal, entra na superfície). O coeficiente de atrito cinético é
. A gravidade tem módulo
.
Perguntas:
(a) faça o diagrama de corpo isolado (liste as forças que atuam na caixa);
(b) determine a força de atrito cinético sobre a caixa (módulo e direção);
(c) determine a aceleração da caixa;
(d) determine o valor de para que a caixa deslize para baixo com velocidade constante (ou seja, aceleração nula).
Perguntas:
(a) faça o diagrama de corpo isolado (liste as forças que atuam na caixa);
(b) determine a força de atrito cinético sobre a caixa (módulo e direção);
(c) determine a aceleração da caixa;
(d) determine o valor de
Informações dadas que vamos usar:
Passo 2
Escolha de eixos e descrição do diagrama de corpo isolado (FBD). Vamos usar eixos convenientes ligados ao plano: eixo
ao longo do plano, apontando para baixo ao longo da rampa (positivo para o sentido de descida); eixo
perpendicular ao plano, apontando para fora da superfície (positivo para fora). No diagrama aparecem as seguintes forças:
- peso:
, vertical para baixo. Suas componentes nos eixos escolhidos são
(Essas componentes vêm de decompor o vetor peso em direções paralela e perpendicular ao plano; o ângulo entre a direção do plano e a horizontal é
, daí os senos e cossenos.)
- força horizontal externa:
, horizontal (no enunciado). Decompõe-se nos eixos do plano com
(Explicação: a componente ao longo do plano é a projeção da horizontal na direção do plano; o ângulo entre a horizontal e a direção do plano é
, daí
e
.)
- reação normal da superfície:
, perpendicular ao plano, apontando para fora (positiva em ). - força de atrito cinético:
, de módulo , atuando tangencialmente ao plano e sempre se opondo ao movimento relativo; se a caixa desliza para baixo, então aponta para cima ao longo do plano.
Passo 3
Equilíbrio na direção perpendicular ao plano: a caixa não acelera para fora/nas profundezas do plano, logo a soma das componentes perpendiculares é zero. Escrevemos
Substituindo as componentes:
Logo
Interpretação didática: a normal aumenta quando você empurra a caixa horizontalmente, porque a componente perpendicular da força
“empurra” a caixa contra o plano.
Passo 4
Expressão do atrito cinético. A magnitude da força de atrito cinético é dada pela lei empírica
Substituindo
que acabamos de achar:
Direção: o atrito age ao longo do plano e se opõe ao movimento relativo. Se a caixa desliza para baixo, então
aponta para cima ao longo do plano.
Passo 5
Equação do movimento ao longo do plano (eixo
). Pela segunda lei de Newton, tomando positivo para baixo ao longo do plano,
As forças com componente em
são:
para baixo,
para baixo, e o atrito
para cima (sinal negativo). Logo
Substituindo
da etapa anterior:
Agora isolamos
. Primeiro expandimos os termos:
Agrupando os termos com
e com
:
Dividindo por
:
Interpretação física: o primeiro termo é a componente da gravidade ao longo do plano reduzida pelo atrito que depende de
; o segundo termo é o efeito da força horizontal, que contribui tanto na direção tangencial (
) quanto via alteração da normal (o termo com
).
Passo 6
Condição para deslizar para baixo com velocidade constante: velocidade constante significa
. Então colocamos
na expressão do passo anterior e resolvemos para
.
Isolando o termo com
:
Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando o lado direito:
Finalmente, desde que
, obtemos
Comentário rápido: para que
física e positivamente exista, numerador e denominador devem ter o mesmo sinal; caso contrário o sinal da força exigida seria negativo (o que corresponde a empurrar no sentido oposto).
Resposta
(a) Forças no diagrama de corpo isolado:
(peso, vertical para baixo) com componentes
(para baixo ao longo do plano) e
(para dentro do plano);
(força horizontal) com componentes
(para baixo ao longo do plano) e
(para dentro do plano); reação normal
(perpendicular ao plano, para fora) e atrito cinético
(tangencial ao plano, de módulo
, orientado para cima ao longo do plano se a caixa desliza para baixo).
(b) (direção: para cima ao longo do plano quando a caixa desliza para baixo).
(c)
(d) Para velocidade constante descendo ( ):
(b)
(c)
(d) Para velocidade constante descendo (