Um feixe luminoso viajando na direção positiva de x atravessa um polarizador cujo eixo de transmissão está na direçao do eixo z. Suponha que o filtro seja girado de 40^{\circ} no sentido horário do eixo x. Com a rotação, comente sobre a intensidade luminosa nos seguintes casos:
Se a luz incidente for polarizada paralelamente ao eixo x .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Um feixe de luz viaja na direção positiva de x.
  • Um polarizador tem seu eixo de transmissão inicialmente na direção do eixo z.
  • O polarizador é girado de 40^\circ em torno do eixo x (girado no sentido horário quando olhamos na direção positiva de x).
  • Pergunta: comentar sobre a intensidade luminosa transmitida quando a luz incidente for polarizada paralelamente ao eixo x.
Informações relevantes listadas:
  • Direção de propagação do feixe: +\hat{x}.
  • Eixo de transmissão do polarizador antes da rotação: \hat{z}.
  • Rotação do polarizador: 40^\circ em torno de \hat{x}.
  • Polarização da luz incidente: paralela a \hat{x} (isto é, vetor de polarização na direção de x).

Passo 2

Entender o que significa “polarização” e “eixo de transmissão” de um polarizador (aula curta e intuitiva).
  • Polarização da luz descreve a direção do campo elétrico \mathbf{E} da onda. Podemos representar a direção de polarização por um vetor unitário, por exemplo \hat{e}.
  • O eixo de transmissão do polarizador é a direção na qual o componente do campo elétrico passa pelo filtro; o polarizador transmite a componente de \mathbf{E} projetada nessa direção e bloqueia a componente perpendicular a ela.
  • A intensidade transmitida por um polarizador ideal segue a Lei de Malus: a intensidade transmitida I é dada por
I = I_0\cos^2\varphi,
onde I_0 é a intensidade incidente e \varphi é o ângulo entre a direção de polarização da luz e o eixo de transmissão do polarizador. Aqui \cos\varphi é justamente o cosseno do ângulo entre os dois vetores diretores (ou o produto escalar entre os vetores unitários).

Passo 3

Representação vetorial das direções (fórmula e explicação).
  • Use vetores unitários \hat{x},\hat{y},\hat{z} para as direções dos eixos.
  • A polarização incidente é paralela a x, então podemos tomar o vetor unitário de polarização como
\hat{e}=\hat{x}.
  • O eixo de transmissão original do polarizador é \hat{z}. Ao girar o polarizador em torno de \hat{x} por um ângulo \theta=40^\circ, o eixo de transmissão resultante permanece no plano yz (porque a rotação em torno de x só mistura as componentes y e z), ou seja o novo eixo tem forma geral
\hat{t} = a\,\hat{y} + b\,\hat{z},
com nenhum componente na direção \hat{x} (isto é, o componente em x é zero).

Passo 4

Mostre explicitamente que o componente em x do eixo de transmissão é zero (cálculo simples e didático).
  • Uma rotação em torno de \hat{x} não cria componente em \hat{x} se a direção inicial estiver em \hat{z}: a nova direção é uma combinação linear de \hat{y} e \hat{z}. Por exemplo, para um ângulo \theta podemos escrever (uma escolha de sinal depende do sentido da rotação, mas não altera o argumento)
\hat{t}=\cos\theta\,\hat{z}+\sin\theta\,\hat{y}.
  • Note que explicitamente o coeficiente de \hat{x} é 0. Então \hat{t} está no plano yz.

Passo 5

Calcule o produto escalar entre a polarização incidente e o eixo de transmissão e aplique a Lei de Malus.
  • A polarização incidente é \hat{e}=\hat{x}. O eixo de transmissão é \hat{t} que tem apenas componentes em \hat{y} e \hat{z}. O produto escalar é
\hat{e}\cdot\hat{t} = \hat{x}\cdot\bigl(\cos\theta\,\hat{z}+\sin\theta\,\hat{y}\bigr).
  • Como \hat{x} é ortogonal a \hat{y} e a \hat{z}, temos \hat{x}\cdot\hat{y}=0 e \hat{x}\cdot\hat{z}=0. Portanto
\hat{e}\cdot\hat{t}=0.
  • Pela Lei de Malus, a fração da intensidade transmitida é (\hat{e}\cdot\hat{t})^2. Logo
I = I_0(\hat{e}\cdot\hat{t})^2 = I_0\cdot 0^2 = 0.

Passo 6

Interpretação física e comentário final (empático e prático).
  • Conclusão física: a polarização indicada (paralela a \hat{x}) é ortogonal ao eixo de transmissão do polarizador depois da rotação (na verdade ortogonal a qualquer direção no plano yz). Assim não há componente do campo elétrico na direção que o polarizador deixa passar, e nada é transmitido.
  • Observação didática: esse raciocínio é independente do ângulo específico de 40^\circ; o ponto essencial é que uma rotação em torno de x mantém o eixo de transmissão no plano yz, portanto qualquer vetor puramente em \hat{x} terá produto escalar zero com esse eixo e não será transmitido.
  • Exemplo contrastante (para fixar a ideia): se a luz estivesse polarizada ao longo de \hat{z} (antes da rotação), após a rotação por 40^\circ a intensidade transmitida seria
I = I_0\cos^2 40^\circ,
porque aí existe componente na direção do novo eixo de transmissão.

Resposta

I=0

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